Escreva os 5 primeiros termos para a série do e em qual intervalo ela converge?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente escrever os 5 primeiros termos da série de e descobrir em qual intervalo essa série converge. Isso envolve entender séries de Taylor (ou Maclaurin) e propriedades de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que é igual a . Sabemos que podemos expandir a função em série de Taylor.
A série de Taylor da função em torno de é:

Passo 3

Agora, para encontrar a série de , vamos derivar a série de . Isso porque a derivada de em relação a é justamente .
Derivando termo a termo:

Passo 4

Então, os 5 primeiros termos da série de são:

Passo 5

Agora, vamos falar sobre o intervalo de convergência dessa série. A série de converge para , já que tende ao infinito quando se aproxima de . Como derivamos a série para obter , o intervalo de convergência permanece o mesmo.

Resposta

Os 5 primeiros termos da série de são:
A série converge para .

Exercícios relacionados

Em qual ordem se deve aproximar em para ter um erro máximo ?
Estime o erro envolvido ao se usar para aproximar um polinômio de Taylor de grau , com centro em , a função em .
Encontre as séries de Taylor de com centro série de MacLaurin: :
.
Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro indicado:
.