Escreva os 5 primeiros termos para a série do
e em qual intervalo ela converge?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente escrever os 5 primeiros termos da série de
e descobrir em qual intervalo essa série converge. Isso envolve entender séries de Taylor (ou Maclaurin) e propriedades de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que
é igual a
. Sabemos que podemos expandir a função
em série de Taylor.
A série de Taylor da função
em torno de
é:
Passo 3
Agora, para encontrar a série de
, vamos derivar a série de
. Isso porque a derivada de
em relação a
é justamente
.
Derivando termo a termo:
Passo 4
Então, os 5 primeiros termos da série de
são:
Passo 5
Agora, vamos falar sobre o intervalo de convergência dessa série. A série de
converge para
, já que
tende ao infinito quando
se aproxima de
. Como derivamos a série para obter
, o intervalo de convergência permanece o mesmo.
Resposta
Os 5 primeiros termos da série de
são:
A série converge para
.
Exercícios relacionados
Em qual ordem se deve aproximar
em
para ter um erro máximo
?
Estime o erro envolvido ao se usar para aproximar um polinômio de Taylor de grau
, com centro em
, a função
em
.
Encontre as séries de Taylor de com centro
série de MacLaurin:
:
.
Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro
indicado:
.