Escreva os 5 primeiros termos para a série do sec^2(x) e em qual intervalo ela converge?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente escrever os 5 primeiros termos da série de e descobrir em qual intervalo essa série converge. Isso envolve entender séries de Taylor (ou Maclaurin) e propriedades de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que é igual a . Sabemos que podemos expandir a função tan(x) em série de Taylor.
A série de Taylor da função tan(x) em torno de x = 0 é:

Passo 3

Agora, para encontrar a série de , vamos derivar a série de tan(x). Isso porque a derivada de tan(x) em relação a x é justamente .
Derivando termo a termo:

Passo 4

Então, os 5 primeiros termos da série de são:

Passo 5

Agora, vamos falar sobre o intervalo de convergência dessa série. A série de tan(x) converge para , já que tan(x) tende ao infinito quando x se aproxima de pi / 2. Como derivamos a série para obter , o intervalo de convergência permanece o mesmo.

Resposta

Os 5 primeiros termos da série de são:
A série converge para .

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