Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro
indicado:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é encontrar o polinômio de Taylor de ordem 3 para a função
com centro em
. Isso significa que vamos aproximar a função por um polinômio que usa até o terceiro grau de
. Para isso, vamos precisar entender como construir o polinômio de Taylor e calcular as derivadas necessárias da função até a terceira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. O polinômio de Taylor de ordem
para uma função
centrado em
é dado por:
Como nosso centro é
, a fórmula simplifica para:
Para o polinômio de ordem 3, precisamos calcular as derivadas de
até a terceira ordem e avaliar elas em
.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas necessárias:
-
Função original:Avaliada em 0:
-
Primeira derivada:Avaliada em 0:
-
Segunda derivada:Avaliada em 0:
-
Terceira derivada:Avaliada em 0:
Passo 4
Agora que temos as derivadas avaliadas em 0, vamos montar o polinômio de Taylor de ordem 3:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 3 para
com centro em
é:
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série de MacLaurin:
:
.
Esta série converge? Se afirmativo, qual é a soma? Em quais valores de
ela converge?
Estime o erro envolvido ao se usar para aproximar um polinômio de Taylor de grau
, com centro em
, a função
em
.
Em qual ordem se deve aproximar
em
para ter um erro máximo
?