Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro x = x0 indicado:
f(x) = e^(-x^2), x0 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é encontrar o polinômio de Taylor de ordem 3 para a função com centro em . Isso significa que vamos aproximar a função por um polinômio que usa até o terceiro grau de . Para isso, vamos precisar entender como construir o polinômio de Taylor e calcular as derivadas necessárias da função até a terceira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. O polinômio de Taylor de ordem para uma função centrado em é dado por:
Como nosso centro é , a fórmula simplifica para:
Para o polinômio de ordem 3, precisamos calcular as derivadas de até a terceira ordem e avaliar elas em .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas necessárias:
  1. Função original:
    Avaliada em 0:
  2. Primeira derivada:
    Avaliada em 0:
  3. Segunda derivada:
    Avaliada em 0:
  4. Terceira derivada:
    Avaliada em 0:

Passo 4

Agora que temos as derivadas avaliadas em 0, vamos montar o polinômio de Taylor de ordem 3:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 3 para com centro em é:

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