Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro indicado:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é encontrar o polinômio de Taylor de ordem 3 para a função com centro em . Isso significa que vamos aproximar a função por um polinômio que usa até o terceiro grau de . Para isso, vamos precisar entender como construir o polinômio de Taylor e calcular as derivadas necessárias da função até a terceira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. O polinômio de Taylor de ordem para uma função centrado em é dado por:
Como nosso centro é , a fórmula simplifica para:
Para o polinômio de ordem 3, precisamos calcular as derivadas de até a terceira ordem e avaliar elas em .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas necessárias:
  1. Função original:
    Avaliada em 0:
  2. Primeira derivada:
    Avaliada em 0:
  3. Segunda derivada:
    Avaliada em 0:
  4. Terceira derivada:
    Avaliada em 0:

Passo 4

Agora que temos as derivadas avaliadas em 0, vamos montar o polinômio de Taylor de ordem 3:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 3 para com centro em é:

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Encontre as séries de Taylor de com centro série de MacLaurin: :
.
Esta série converge? Se afirmativo, qual é a soma? Em quais valores de ela converge?
Estime o erro envolvido ao se usar para aproximar um polinômio de Taylor de grau , com centro em , a função em .
Em qual ordem se deve aproximar em para ter um erro máximo ?