Em qual ordem se deve aproximar raiz(1 + x) aproximadamente P_n(x) em |x| < 0.1 para ter um erro máximo epsilon < 10^-2?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta: “Em qual ordem se deve aproximar raiz(1 + x) aproximadamente P_n(x) em |x| < 0.1 para ter um erro máximo epsilon < 10^-2?” Aqui, estamos trabalhando com séries de Taylor para aproximar funções. Precisamos determinar o grau da aproximação polinomial que garante que o erro seja menor que no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função que queremos aproximar: . Para aproximar essa função por um polinômio, usamos a série de Taylor centrada em x = 0. A série de Taylor para f(x) é dada por:
Onde é a k-ésima derivada de f avaliada em 0.

Passo 3

Calculamos as primeiras derivadas de f(x):
  • E assim por diante.
Avaliar essas derivadas em x = 0 nos dá os coeficientes da série de Taylor.

Passo 4

Construímos o polinômio de Taylor de ordem n para f(x):
Onde é o coeficiente da n-ésima ordem.

Passo 5

Para garantir que o erro seja menor que , usamos a forma do resto da série de Taylor:
Onde M é um limite para a n + 1-ésima derivada de f no intervalo considerado.

Passo 6

Calculamos M para nossa função. Sabemos que:
No intervalo , o máximo valor de ocorre em :

Passo 7

Substituímos M na fórmula do erro e resolvemos para n tal que:
Considerando , usamos para o caso mais conservador.

Passo 8

Resolvemos a desigualdade para diferentes valores de n até encontrar o menor n que satisfaz a condição. Após alguns cálculos, descobrimos que para n = 2, o erro é:

Resposta

Aproximar raiz(1 + x) com um polinômio de ordem n = 2 garante que o erro máximo seja menor que 10^(-2) no intervalo |x| < 0.1.

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