Em qual ordem se deve aproximar em para ter um erro máximo ?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta: “Em qual ordem se deve aproximar em para ter um erro máximo ?” Aqui, estamos trabalhando com séries de Taylor para aproximar funções. Precisamos determinar o grau da aproximação polinomial que garante que o erro seja menor que no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função que queremos aproximar: . Para aproximar essa função por um polinômio, usamos a série de Taylor centrada em . A série de Taylor para é dada por:
Onde é a -ésima derivada de avaliada em 0.

Passo 3

Calculamos as primeiras derivadas de :
  • E assim por diante.
Avaliar essas derivadas em nos dá os coeficientes da série de Taylor.

Passo 4

Construímos o polinômio de Taylor de ordem para :
Onde é o coeficiente da -ésima ordem.

Passo 5

Para garantir que o erro seja menor que , usamos a forma do resto da série de Taylor:
Onde é um limite para a -ésima derivada de no intervalo considerado.

Passo 6

Calculamos para nossa função. Sabemos que:
No intervalo , o máximo valor de ocorre em :

Passo 7

Substituímos na fórmula do erro e resolvemos para tal que:
Considerando , usamos para o caso mais conservador.

Passo 8

Resolvemos a desigualdade para diferentes valores de até encontrar o menor que satisfaz a condição. Após alguns cálculos, descobrimos que para , o erro é:

Resposta

Aproximar com um polinômio de ordem garante que o erro máximo seja menor que no intervalo .

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