Em qual ordem se deve aproximar
em
para ter um erro máximo
?
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pergunta: “Em qual ordem se deve aproximar
em
para ter um erro máximo
?” Aqui, estamos trabalhando com séries de Taylor para aproximar funções. Precisamos determinar o grau da aproximação polinomial
que garante que o erro seja menor que
no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, identificamos a função que queremos aproximar:
. Para aproximar essa função por um polinômio, usamos a série de Taylor centrada em
. A série de Taylor para
é dada por:
Onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em 0.
Passo 3
Calculamos as primeiras derivadas de
:
-
-
-
-
- E assim por diante.
Avaliar essas derivadas em
nos dá os coeficientes da série de Taylor.
Passo 4
Construímos o polinômio de Taylor de ordem
para
:
Onde
é o coeficiente da
-ésima ordem.
Passo 5
Para garantir que o erro
seja menor que
, usamos a forma do resto da série de Taylor:
Onde
é um limite para a
-ésima derivada de
no intervalo considerado.
Passo 6
Calculamos
para nossa função. Sabemos que:
No intervalo
, o máximo valor de
ocorre em
:
Passo 7
Substituímos
na fórmula do erro e resolvemos para
tal que:
Considerando
, usamos
para o caso mais conservador.
Passo 8
Resolvemos a desigualdade para diferentes valores de
até encontrar o menor
que satisfaz a condição. Após alguns cálculos, descobrimos que para
, o erro é:
Resposta
Aproximar
com um polinômio de ordem
garante que o erro máximo seja menor que
no intervalo
.
Exercícios relacionados
Estime o erro envolvido ao se usar para aproximar um polinômio de Taylor de grau
, com centro em
, a função
em
.
Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro
indicado:
.
Escreva os 5 primeiros termos para a série do
e em qual intervalo ela converge?
Encontre as séries de Taylor de com centro
série de MacLaurin:
:
.