Estime o erro envolvido ao se usar para aproximar um polinômio de Taylor de grau 3, P3(x), com centro em x0 = 0, a função sen x em |x| < 0.1.

Passo 1

Beleza, o exercício quer a gente estimar o erro quando usamos um polinômio de Taylor de grau 3, , centrado em , para aproximar a função no intervalo . Isso envolve entender como a aproximação se comporta e quão precisa ela é dentro desse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor para centrada em 0. A série de Taylor de é:
Como estamos usando um polinômio de grau 3, vai incluir apenas os termos até o :

Passo 3

Agora, pra estimar o erro dessa aproximação, usamos o Teorema de Taylor com o resto de Lagrange. Esse teorema nos diz que o erro ao usar o polinômio de grau é dado por:
onde está entre 0 e , e é a derivada de ordem da função no ponto .

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, com :
A quarta derivada de é:
Então, o erro fica:

Passo 5

Sabemos que o valor absoluto de é, no máximo, 1. Isso significa que:
Esse é o limite máximo do erro que teremos usando nosso polinômio de grau 3 pra aproximar .

Passo 6

Agora, como queremos o erro para , substituímos por 0,1 na expressão do erro máximo:

Resposta

O erro ao usar o polinômio de Taylor de grau 3 para aproximar em é, no máximo, aproximadamente .

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