Estime o erro envolvido ao se usar para aproximar um polinômio de Taylor de grau
, com centro em
, a função
em
.
Passo 1
Beleza, o exercício quer a gente estimar o erro quando usamos um polinômio de Taylor de grau 3,
, centrado em
, para aproximar a função
no intervalo
. Isso envolve entender como a aproximação se comporta e quão precisa ela é dentro desse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor para
centrada em 0. A série de Taylor de
é:
Como estamos usando um polinômio de grau 3,
vai incluir apenas os termos até o
:
Passo 3
Agora, pra estimar o erro dessa aproximação, usamos o Teorema de Taylor com o resto de Lagrange. Esse teorema nos diz que o erro
ao usar o polinômio de grau
é dado por:
onde
está entre 0 e
, e
é a derivada de ordem
da função no ponto
.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso, com
:
A quarta derivada de
é:
Então, o erro fica:
Passo 5
Sabemos que o valor absoluto de
é, no máximo, 1. Isso significa que:
Esse é o limite máximo do erro que teremos usando nosso polinômio de grau 3 pra aproximar
.
Passo 6
Agora, como queremos o erro para
, substituímos
por 0,1 na expressão do erro máximo:
Resposta
O erro ao usar o polinômio de Taylor de grau 3 para aproximar
em
é, no máximo, aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro
indicado:
.
Encontre as séries de Taylor de com centro
série de MacLaurin:
:
.
Em qual ordem se deve aproximar
em
para ter um erro máximo
?
Escreva os 5 primeiros termos para a série do
e em qual intervalo ela converge?