Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro x = x0 indicado:
f(x) = tan(2x), x0 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é encontrar os polinômios de Taylor de ordem 3 para a função com centro em . Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente trabalhando com aproximações de funções usando séries de Taylor. Para resolver, a gente vai precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliar elas no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio de Taylor. Basicamente, é uma forma de aproximar uma função usando um polinômio cuja precisão melhora com o aumento do grau do polinômio. A fórmula geral para o polinômio de Taylor de ordem 3 centrado em é:
No nosso caso, , então fica:

Passo 3

Vamos calcular . Substituindo na função:
Então, .

Passo 4

Agora, precisamos da primeira derivada . Sabemos que a derivada de em relação a é , e aplicando a regra da cadeia:
Avaliar em :
Então, .

Passo 5

Vamos para a segunda derivada . Derivando :
Avaliar em :
Então, .

Passo 6

Por fim, a terceira derivada . Vamos derivar :
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:
Avaliar em :
Então, .

Resposta

Substituindo tudo na fórmula do polinômio de Taylor:
Então, o polinômio de Taylor de ordem 3 para com centro em é:

Exercícios relacionados