Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro indicado:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é encontrar os polinômios de Taylor de ordem 3 para a função com centro em . Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente trabalhando com aproximações de funções usando séries de Taylor. Para resolver, a gente vai precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliar elas no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio de Taylor. Basicamente, é uma forma de aproximar uma função usando um polinômio cuja precisão melhora com o aumento do grau do polinômio. A fórmula geral para o polinômio de Taylor de ordem 3 centrado em é:
No nosso caso, , então fica:

Passo 3

Vamos calcular . Substituindo na função:
Então, .

Passo 4

Agora, precisamos da primeira derivada . Sabemos que a derivada de em relação a é , e aplicando a regra da cadeia:
Avaliar em :
Então, .

Passo 5

Vamos para a segunda derivada . Derivando :
Avaliar em :
Então, .

Passo 6

Por fim, a terceira derivada . Vamos derivar :
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:
Avaliar em :
Então, .

Resposta

Substituindo tudo na fórmula do polinômio de Taylor:
Então, o polinômio de Taylor de ordem 3 para com centro em é:

Exercícios relacionados

Encontre as séries de Taylor de com centro série de MacLaurin: :
.
Encontre séries com centro em , ou (quando indicado) para as funções por qualquer método: substituição, operações algébricas, operações diferenciais, exceto fórmula de Taylor. Use, por enquanto, séries dadas nas aulas e no capítulo, mesmo que não tenha visto sua .
Estime o erro envolvido ao se usar para aproximar um polinômio de Taylor de grau , com centro em , a função em .
Estime o erro envolvido quando se usa a aproximação em .