Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro
indicado:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é encontrar os polinômios de Taylor de ordem 3 para a função
com centro em
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente trabalhando com aproximações de funções usando séries de Taylor. Para resolver, a gente vai precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliar elas no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio de Taylor. Basicamente, é uma forma de aproximar uma função usando um polinômio cuja precisão melhora com o aumento do grau do polinômio. A fórmula geral para o polinômio de Taylor de ordem 3 centrado em
é:
No nosso caso,
, então fica:
Passo 3
Vamos calcular
. Substituindo
na função:
Então,
.
Passo 4
Agora, precisamos da primeira derivada
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é
, e aplicando a regra da cadeia:
Avaliar em
:
Então,
.
Passo 5
Vamos para a segunda derivada
. Derivando
:
Avaliar em
:
Então,
.
Passo 6
Por fim, a terceira derivada
. Vamos derivar
:
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:
Avaliar em
:
Então,
.
Resposta
Substituindo tudo na fórmula do polinômio de Taylor:
Então, o polinômio de Taylor de ordem 3 para
com centro em
é:
Exercícios relacionados
Encontre as séries de Taylor de com centro
série de MacLaurin:
:
.
Encontre séries com centro em
, ou
(quando indicado) para as funções por qualquer método: substituição, operações algébricas, operações diferenciais, exceto fórmula de Taylor. Use, por enquanto, séries dadas nas aulas e no capítulo, mesmo que não tenha visto sua
.
Estime o erro envolvido ao se usar para aproximar um polinômio de Taylor de grau
, com centro em
, a função
em
.
Estime o erro envolvido quando se usa a aproximação
em
.