Encontre as séries de Taylor de com centro
série de MacLaurin:
:
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a série de Taylor da função
com centro em
, que também é conhecida como série de Maclaurin. Para isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin da função
e depois adaptar para
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a série de Maclaurin para a função
. A série de Maclaurin de uma função é uma expansão em série polinomial centrada em
. Para
, a série é:
Essa série significa que podemos aproximar
por uma soma infinita de termos envolvendo potências ímpares de
.
Passo 3
Agora, queremos a série de Maclaurin para
em vez de
. Para adaptar a série, substituímos
por
na série original. Assim, temos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão
:
Portanto, a série fica:
Resposta
A série de Maclaurin para
é:
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Encontre séries com centro em
, ou
(quando indicado) para as funções por qualquer método: substituição, operações algébricas, operações diferenciais, exceto fórmula de Taylor. Use, por enquanto, séries dadas nas aulas e no capítulo, mesmo que não tenha visto sua
.
Escreva seus 5 primeiros termos, encontre os 5 primeiros termos da série do
e escreva a série
Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro
indicado:
.
Estime o erro envolvido ao se usar para aproximar um polinômio de Taylor de grau
, com centro em
, a função
em
.