Encontre as séries de Taylor de com centro série de MacLaurin: :
.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a série de Taylor da função com centro em , que também é conhecida como série de Maclaurin. Para isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin da função e depois adaptar para .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a série de Maclaurin para a função . A série de Maclaurin de uma função é uma expansão em série polinomial centrada em . Para , a série é:
Essa série significa que podemos aproximar por uma soma infinita de termos envolvendo potências ímpares de .

Passo 3

Agora, queremos a série de Maclaurin para em vez de . Para adaptar a série, substituímos por na série original. Assim, temos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão :
Portanto, a série fica:

Resposta

A série de Maclaurin para é:

Exercícios relacionados

Encontre séries com centro em , ou (quando indicado) para as funções por qualquer método: substituição, operações algébricas, operações diferenciais, exceto fórmula de Taylor. Use, por enquanto, séries dadas nas aulas e no capítulo, mesmo que não tenha visto sua .
Escreva seus 5 primeiros termos, encontre os 5 primeiros termos da série do e escreva a série
Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro indicado:
.
Estime o erro envolvido ao se usar para aproximar um polinômio de Taylor de grau , com centro em , a função em .