Encontre séries com centro em , ou (quando indicado) para as funções por qualquer método: substituição, operações algébricas, operações diferenciais, exceto fórmula de Taylor. Use, por enquanto, séries dadas nas aulas e no capítulo, mesmo que não tenha visto sua .

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é que a gente precisa encontrar uma série de potências para a função centrada em . A matéria que a gente vai usar envolve séries de potências, especialmente séries que já conhecemos como a série de . Vamos precisar saber como substituir e manipular séries para adaptá-las a diferentes funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências da função cosseno. A série de Maclaurin para é:
Essa série nos diz que podemos expressar o cosseno de qualquer coisa como uma soma infinita de termos envolvendo potências pares da variável.

Passo 3

Agora, queremos aplicar isso na nossa função . Para isso, vamos fazer uma substituição onde . Substituindo na série de , temos:

Passo 4

Vamos simplificar um pouco essa expressão. Primeiro, observe que . Então, podemos reescrever a série como:

Passo 5

Pronto! Agora a gente tem a série de potências para centrada em , utilizando substituição na série conhecida do cosseno.

Resposta

A série de potências centrada em para é:

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Escreva seus 5 primeiros termos, encontre os 5 primeiros termos da série do e escreva a série
Em que intervalo de valores (encontre ) se pode usar um polinômio de Taylor de grau 2, , com centro em , para aproximar o , comentendo um erro limitado a ?
Encontre as séries de Taylor de com centro série de MacLaurin: :
.
Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro indicado:
.