Encontre séries com centro em
, ou
(quando indicado) para as funções por qualquer método: substituição, operações algébricas, operações diferenciais, exceto fórmula de Taylor. Use, por enquanto, séries dadas nas aulas e no capítulo, mesmo que não tenha visto sua
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é que a gente precisa encontrar uma série de potências para a função
centrada em
. A matéria que a gente vai usar envolve séries de potências, especialmente séries que já conhecemos como a série de
. Vamos precisar saber como substituir e manipular séries para adaptá-las a diferentes funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências da função cosseno. A série de Maclaurin para
é:
Essa série nos diz que podemos expressar o cosseno de qualquer coisa como uma soma infinita de termos envolvendo potências pares da variável.
Passo 3
Agora, queremos aplicar isso na nossa função
. Para isso, vamos fazer uma substituição onde
. Substituindo na série de
, temos:
Passo 4
Vamos simplificar um pouco essa expressão. Primeiro, observe que
. Então, podemos reescrever a série como:
Passo 5
Pronto! Agora a gente tem a série de potências para
centrada em
, utilizando substituição na série conhecida do cosseno.
Resposta
A série de potências centrada em
para
é:
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Escreva seus 5 primeiros termos, encontre os 5 primeiros termos da série do
e escreva a série
Em que intervalo de valores
(encontre
) se pode usar um polinômio de Taylor de grau 2,
, com centro em
, para aproximar o
, comentendo um erro limitado a
?
Encontre as séries de Taylor de com centro
série de MacLaurin:
:
.
Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro
indicado:
.