Qual é o maior valor possível para a soma das coordenadas de um ponto pertencente ao elipsoide de equação .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto que está dentro de um elipsoide dado pela equação . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o maior valor que a soma das coordenadas desse ponto, ou seja, , pode alcançar. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica e otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um elipsoide. Um elipsoide é como uma esfera alongada em algumas direções. A equação geral de um elipsoide centrado no ponto é:
No nosso caso, a equação é . Para facilitar, vamos colocar essa equação na forma padrão dividindo todos os termos por 40:
Simplificando:
Isso nos mostra os eixos do elipsoide e como ele está esticado.

Passo 3

Agora, queremos maximizar a função sujeita à restrição do elipsoide. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização para encontrar os extremos de uma função sujeita a restrições.
A ideia é encontrar pontos onde o gradiente da função que queremos otimizar ( ) é paralelo ao gradiente da função de restrição (a equação do elipsoide).
Matematicamente, isso significa que existe um número tal que:
çã
Vamos calcular os gradientes.

Passo 4

Primeiro, calculemos . A função tem derivadas parciais:
Então,
Agora, vamos calcular o gradiente da restrição. A restrição é .
As derivadas parciais são:
Então,

Passo 5

Segundo o método dos multiplicadores de Lagrange, temos:
Ou seja,
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Além disso, temos a restrição:

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações. Primeiro, da equação 1:
Da equação 2:
Da equação 3:

Passo 7

Agora, substituímos , e na equação da restrição:
Simplificando:
Calculando cada termo:
Simplificando:
Somando os termos:

Passo 8

Agora, resolvemos para :
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo ambos os lados por 320:
Então,

Passo 9

Vamos considerar primeiro:
Substituindo na expressão para :
Para :
Para :
Então, o ponto é .
Agora, para :
Então, o ponto é .

Passo 10

Agora, calculamos a soma das coordenadas para os dois pontos encontrados:
Para :
Para :
Como estamos buscando o maior valor possível, a máxima soma é .

Resposta

O maior valor possível para a soma das coordenadas de um ponto no elipsoide é 15.

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