Qual é o maior valor possível para a soma das coordenadas de um ponto pertencente ao elipsoide de equação
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto que está dentro de um elipsoide dado pela equação
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o maior valor que a soma das coordenadas desse ponto, ou seja,
, pode alcançar. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica e otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um elipsoide. Um elipsoide é como uma esfera alongada em algumas direções. A equação geral de um elipsoide centrado no ponto
é:
No nosso caso, a equação é
. Para facilitar, vamos colocar essa equação na forma padrão dividindo todos os termos por 40:
Simplificando:
Isso nos mostra os eixos do elipsoide e como ele está esticado.
Passo 3
Agora, queremos maximizar a função
sujeita à restrição do elipsoide. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização para encontrar os extremos de uma função sujeita a restrições.
A ideia é encontrar pontos onde o gradiente da função que queremos otimizar (
) é paralelo ao gradiente da função de restrição (a equação do elipsoide).
Matematicamente, isso significa que existe um número
tal que:
Vamos calcular os gradientes.
Passo 4
Primeiro, calculemos
. A função
tem derivadas parciais:
Então,
Agora, vamos calcular o gradiente da restrição. A restrição é
.
As derivadas parciais são:
Então,
Passo 5
Segundo o método dos multiplicadores de Lagrange, temos:
Ou seja,
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Além disso, temos a restrição:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações. Primeiro, da equação 1:
Da equação 2:
Da equação 3:
Passo 7
Agora, substituímos
,
e
na equação da restrição:
Simplificando:
Calculando cada termo:
Simplificando:
Somando os termos:
Passo 8
Agora, resolvemos para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por 320:
Então,
Passo 9
Vamos considerar
primeiro:
Substituindo na expressão para
:
Para
:
Para
:
Então, o ponto é
.
Agora, para
:
Então, o ponto é
.
Passo 10
Agora, calculamos a soma das coordenadas para os dois pontos encontrados:
Para
:
Para
:
Como estamos buscando o maior valor possível, a máxima soma é
.
Resposta
O maior valor possível para a soma das coordenadas de um ponto no elipsoide é 15.
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e
.
Defina precisamente a expressão matemáticas abaixo, falando do domínio de
e do ponto
caso necessário:
Encontre o ponto da esfera
que está mais afastado da origem
.
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