( 1,5 pontos) Um solido apresenta densidade vari&vel igual a
. Calcule a massa do sólido, sabendo que o mesmo é delimitado por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sólido com densidade variável dada por
. Precisamos calcular a massa desse sólido que está limitado pelas superfícies
e
. O conteúdo aqui envolve cálculo integral em várias variáveis, especificamente integrais triplas para encontrar a massa de um corpo com densidade variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular a massa de um sólido com densidade variável. A massa
é calculada integrando a densidade
sobre todo o volume
do sólido:
No nosso caso,
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. O sólido está entre
(a base) e
(o topo), que é uma parábola circular invertida. Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
E o volume diferencial em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 4
Em coordenadas cilíndricas, a equação do topo fica:
E a base continua sendo
. Agora, precisamos determinar os limites para
e
. O sólido é simétrico em torno do eixo
, então
varia de
a
. Para
, o máximo ocorre quando
:
Portanto,
varia de
a
.
Passo 5
Agora, vamos montar a integral tripla para a massa:
Vamos resolver essa integral passo a passo, começando pela integração em
.
Passo 6
Integramos em relação a
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, multiplicamos pelo
e integramos em
:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Por fim, integramos em
:
Resposta
A massa do sólido é
unidades de massa.