( 1,5 pontos) Um solido apresenta densidade vari&vel igual a delta(x, y, z) = z - 1. Calcule a massa do sólido, sabendo que o mesmo é delimitado por z = 4 - x^2 - y^2 e z = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sólido com densidade variável dada por . Precisamos calcular a massa desse sólido que está limitado pelas superfícies e . O conteúdo aqui envolve cálculo integral em várias variáveis, especificamente integrais triplas para encontrar a massa de um corpo com densidade variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular a massa de um sólido com densidade variável. A massa é calculada integrando a densidade sobre todo o volume do sólido:
No nosso caso, .

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. O sólido está entre (a base) e (o topo), que é uma parábola circular invertida. Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
E o volume diferencial em coordenadas cilíndricas é .

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas, a equação do topo fica:
E a base continua sendo . Agora, precisamos determinar os limites para e . O sólido é simétrico em torno do eixo , então varia de a . Para , o máximo ocorre quando :
Portanto, varia de a .

Passo 5

Agora, vamos montar a integral tripla para a massa:
Vamos resolver essa integral passo a passo, começando pela integração em .

Passo 6

Integramos em relação a :
Simplificando:

Passo 7

Agora, multiplicamos pelo e integramos em :
Integrando termo a termo:

Passo 8

Por fim, integramos em :

Resposta

A massa do sólido é unidades de massa.

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