Uma escada com 7 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 m/s, quão rápido o ângulo entre escada e o parede varia quando a escada está a 4 m da parede?

Passo 1

Vamos resumir o que temos aqui: temos uma escada de 7 metros apoiada numa parede. A base da escada está se afastando da parede a uma velocidade de . Queremos descobrir quão rápido o ângulo entre a escada e a parede está mudando quando a base da escada está a 4 metros da parede. Para resolver isso, vamos usar trigonometria e derivadas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação como um triângulo retângulo, onde a escada é a hipotenusa de 7 metros. Vamos chamar a distância da base da escada à parede de e a altura da escada sobre a parede de . Sabemos que está aumentando a uma taxa de .

Passo 3

Como temos um triângulo retângulo, podemos usar o teorema de Pitágoras:
Vamos derivar essa equação em relação ao tempo :
Isso nos ajuda a relacionar as taxas de variação de e .

Passo 4

Vamos agora relacionar o ângulo entre a escada e a parede. Usamos a função trigonométrica cosseno:
Derivando em relação ao tempo:
Agora, precisamos encontrar usando a equação anterior.

Passo 5

Quando , usando o teorema de Pitágoras:
Voltando à derivada:

Passo 6

Substituindo na equação do :
Então:

Resposta

Quando a base da escada está a 4 metros da parede, o ângulo entre a escada e a parede está aumentando a uma taxa de .

Exercícios relacionados

Identifique a região de onde as funções dadas são diferenciáveis:
a) f(x, y) = { raiz(x^2 + y^2 + 1), se x^2 + y^2 < 1; 0, se x^2 + y^2 ≥ 1 }
Esboce o gráfico da função.
f(x) = (x^2 - 1) * raiz(3 * x)
Esboce o gráfico da função.
f(x) = x / (2 - x^2)
Encontre o ponto da hipérbole x^2 - y^2 = 16 que está mais próximo do ponto 0,2.