Uma escada com 7 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de
, quão rápido o ângulo entre escada e o parede varia quando a escada está a 4 m da parede?
Passo 1
Vamos resumir o que temos aqui: temos uma escada de 7 metros apoiada numa parede. A base da escada está se afastando da parede a uma velocidade de
. Queremos descobrir quão rápido o ângulo entre a escada e a parede está mudando quando a base da escada está a 4 metros da parede. Para resolver isso, vamos usar trigonometria e derivadas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação como um triângulo retângulo, onde a escada é a hipotenusa de 7 metros. Vamos chamar a distância da base da escada à parede de
e a altura da escada sobre a parede de
. Sabemos que
está aumentando a uma taxa de
.
Passo 3
Como temos um triângulo retângulo, podemos usar o teorema de Pitágoras:
Vamos derivar essa equação em relação ao tempo
:
Isso nos ajuda a relacionar as taxas de variação de
e
.
Passo 4
Vamos agora relacionar o ângulo
entre a escada e a parede. Usamos a função trigonométrica cosseno:
Derivando em relação ao tempo:
Agora, precisamos encontrar
usando a equação anterior.
Passo 5
Quando
, usando o teorema de Pitágoras:
Voltando à derivada:
Passo 6
Substituindo
na equação do
:
Então:
Resposta
Quando a base da escada está a 4 metros da parede, o ângulo entre a escada e a parede está aumentando a uma taxa de
.
Exercícios relacionados
Identifique a região de
onde as funções dadas são diferenciáveis:
a)
a)
Esboce o gráfico da função.
Esboce o gráfico da função.
Encontre o ponto da hipérbole
que está mais próximo do ponto
.