Uma mola de constante elástica é presa a uma partícula de massa 2 kg . Tal sistema encontrase num meio onde há a ação de uma força dissipativa proporcional à velocidade da partícula , com constante de proporcionalidade (ou seja, ). Assuma que não existe força externa agindo sobre a partícula. Suponha que no instante soltamos a massa da sua posição de equilíbrio com velocidade de para cima.
b) O que acontece com a partícula quando ?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema que envolve uma mola com constante elástica de presa a uma massa de . Além disso, há uma força que depende da velocidade da massa, conhecida como força dissipativa, dada por . Não tem nada de fora agindo sobre a massa. No instante inicial (), soltamos a massa da posição de equilíbrio com uma velocidade de para cima. O conteúdo aqui envolve mecânica das vibrações e sistemas massa-mola com amortecimento. Para resolver, vamos precisar entender como a força da mola e a força dissipativa afetam o movimento da massa ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação que descreve o movimento da massa. Sabemos que a segunda lei de Newton nos diz que a força resultante é igual à massa multiplicada pela aceleração (). Aqui, as forças atuando são a força da mola e a força dissipativa:
Onde:
(constante elástica da mola)
é o deslocamento da posição de equilíbrio
(velocidade)
(aceleração)
Então, a equação fica:
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para deixar tudo igual a zero:
Simplificando os coeficientes:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes, típica de sistemas de massa-mola com amortecimento.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as raízes da equação característica associada:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Então, temos duas raízes:
Passo 5
Como as duas raízes são reais e negativas ( e ), isso indica que o sistema é superamortecido. Nesse caso, a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que determinamos pelas condições iniciais.
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e . As condições são:
No instante , a posição (posição de equilíbrio).
A velocidade inicial para cima.
Aplicando a primeira condição:
Aplicando a segunda condição, derivamos x(t):
No instante t = 0:
Substituindo :
Então, .
Passo 7
Agora que temos e , a solução completa fica:
Passo 8
Para entender o que acontece quando t -> infinito, vamos analisar os termos da solução:
tende a zero conforme t cresce.
também tende a zero, mas muito mais rapidamente.
Assim, ambos os termos desaparecem com o tempo, fazendo com que a posição x(t) se aproxime de zero.
Resposta
Quando t tende ao infinito, a partícula para e permanece na posição de equilíbrio, ou seja, .