Se
é uma transformação linear injetora e
, então
transforma base cm base, ou scja, sc
ć basc de
, então o conjunto
é base de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
que é injetora, ou seja, não envia dois vetores diferentes de
para o mesmo vetor em
. Além disso, os espaços vetoriais
e
têm a mesma dimensão. A questão quer que a gente prove que, se
é uma base de
, então o conjunto
é uma base de
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, injetividade, dimensões de espaços vetoriais e o que caracteriza uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva a operação de adição de vetores e a multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores
em
e qualquer escalar
, temos:
Isso garante que a estrutura do espaço vetorial é mantida pela transformação.
Passo 3
Agora, a transformação
é injetora. Isso significa que se
, então necessariamente
. Em outras palavras,
não “colapsa” diferentes vetores de
em um único vetor de
. Isso é importante porque uma transformação injetora preserva a distinção entre os vetores de
.
Passo 4
Sabemos também que
. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base do espaço. Então, se
, tanto
quanto
têm bases com exatamente
vetores.
Passo 5
Uma base de um espaço vetorial tem duas propriedades principais: os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço. Linearmente independentes significa que nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação linear dos outros. Gerar o espaço significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base.
Passo 6
Como
é uma base de
, ela é linearmente independente e gera
. Quando aplicamos a transformação
a cada vetor de
, obtemos
. Queremos mostrar que
também é uma base de
, ou seja, que seus vetores são linearmente independentes e geram
.
Passo 7
Primeiro, vamos mostrar que
gera
. Como
é linear e
gera
, qualquer vetor em
pode ser escrito como
de algum vetor em
. Como
gera
, esse vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de
. Aplicando
nessa combinação, e usando a linearidade de
, vemos que qualquer vetor em
pode ser escrito como combinação linear dos vetores em
. Portanto,
gera
.
Passo 8
Agora, vamos mostrar que
é linearmente independente. Suponha que exista uma combinação linear dos vetores de
que resulte no vetor zero:
Usando a linearidade de
, isso equivale a:
Como
é injetora, o único vetor que
manda para zero é o vetor zero de
. Então:
Mas
é uma base, então seus vetores são linearmente independentes. Isso significa que todos os coeficientes
devem ser zero. Portanto,
é linearmente independente.
Resposta
Concluímos que
é uma base de
, já que gera todo o espaço
e é linearmente independente.