Se T: V longrightarrow W é uma transformação linear injetora e dim V=dim W, então I transforma base cm base, ou scja, sc B=v1, v2, ldots, vn ć basc de V, então o conjunto T(B)= T(v1), T(v2), ldots, T(vn) é base de W.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que é injetora, ou seja, não envia dois vetores diferentes de para o mesmo vetor em . Além disso, os espaços vetoriais e têm a mesma dimensão. A questão quer que a gente prove que, se é uma base de , então o conjunto é uma base de . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, injetividade, dimensões de espaços vetoriais e o que caracteriza uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva a operação de adição de vetores e a multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores T(u + v) = T(u) + T(v) em T(c cdot v) = c cdot T(v) e qualquer escalar , temos:
Isso garante que a estrutura do espaço vetorial é mantida pela transformação.

Passo 3

Agora, a transformação é injetora. Isso significa que se , então necessariamente . Em outras palavras, não “colapsa” diferentes vetores de em um único vetor de . Isso é importante porque uma transformação injetora preserva a distinção entre os vetores de .

Passo 4

Sabemos também que . A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base do espaço. Então, se , tanto quanto têm bases com exatamente vetores.

Passo 5

Uma base de um espaço vetorial tem duas propriedades principais: os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço. Linearmente independentes significa que nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação linear dos outros. Gerar o espaço significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base.

Passo 6

Como é uma base de , ela é linearmente independente e gera . Quando aplicamos a transformação a cada vetor de , obtemos . Queremos mostrar que também é uma base de , ou seja, que seus vetores são linearmente independentes e geram .

Passo 7

Primeiro, vamos mostrar que gera . Como é linear e gera , qualquer vetor em pode ser escrito como de algum vetor em . Como gera , esse vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de . Aplicando nessa combinação, e usando a linearidade de , vemos que qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear dos vetores em . Portanto, gera .

Passo 8

Agora, vamos mostrar que c1 T(v1) + c2 T(v2) + ldots + cn T(vn) = 0 é linearmente independente. Suponha que exista uma combinação linear dos vetores de T(c1 v1 + c2 v2 + ldots + cn vn) = 0 que resulte no vetor zero:
c1 v1 + c2 v2 + ldots + cn vn = 0
Usando a linearidade de , isso equivale a:
Como é injetora, o único vetor que manda para zero é o vetor zero de . Então:
Mas é uma base, então seus vetores são linearmente independentes. Isso significa que todos os coeficientes devem ser zero. Portanto, é linearmente independente.

Resposta

Concluímos que é uma base de , já que gera todo o espaço e é linearmente independente.

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