Encontre o ponto do plano
que está mais próximo da origem.
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é um plano dado pela equação
. A missão é encontrar qual ponto desse plano tá mais pertinho da origem (que é o ponto
). Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e álgebra vetorial. Basicamente, a gente precisa descobrir qual ponto no plano minimiza a distância até a origem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano. O vetor normal é aquele que é perpendicular ao plano, e a gente pode pegar os coeficientes de
,
e
na equação do plano para isso. Então, o vetor normal
é:
Esse vetor vai nos ajudar a encontrar a direção na qual a distância é mínima.
Passo 3
Agora, vamos pensar que o ponto mais próximo da origem está exatamente na direção do vetor normal. Isso significa que o ponto procurado pode ser expresso como um múltiplo desse vetor normal. Vamos chamar esse ponto de
e escrever suas coordenadas como:
Aqui,
é um número real que a gente vai determinar.
Passo 4
O ponto
tem que estar no plano
. Vamos substituir as coordenadas de
nessa equação para encontrar o valor de
:
Passo 5
Agora que temos o valor de
, é só substituir de volta nas coordenadas de
:
Resposta
O ponto do plano
que está mais próximo da origem é
.
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