Encontre o ponto do plano que está mais próximo da origem.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é um plano dado pela equação . A missão é encontrar qual ponto desse plano tá mais pertinho da origem (que é o ponto ). Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e álgebra vetorial. Basicamente, a gente precisa descobrir qual ponto no plano minimiza a distância até a origem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano. O vetor normal é aquele que é perpendicular ao plano, e a gente pode pegar os coeficientes de , e na equação do plano para isso. Então, o vetor normal é:
Esse vetor vai nos ajudar a encontrar a direção na qual a distância é mínima.

Passo 3

Agora, vamos pensar que o ponto mais próximo da origem está exatamente na direção do vetor normal. Isso significa que o ponto procurado pode ser expresso como um múltiplo desse vetor normal. Vamos chamar esse ponto de e escrever suas coordenadas como:
Aqui, é um número real que a gente vai determinar.

Passo 4

O ponto tem que estar no plano . Vamos substituir as coordenadas de nessa equação para encontrar o valor de :

Passo 5

Agora que temos o valor de , é só substituir de volta nas coordenadas de :

Resposta

O ponto do plano que está mais próximo da origem é .

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
97)
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
87)
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
102)
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
107)