Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
87) integral 2 x raizx^2+3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve técnicas de integração, mais especificamente, a substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão que, ao ser substituída por uma variável nova, simplificará a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a resolução. Observamos que temos u = x^2 + 3 dentro da raiz quadrada. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x , dx para substituir na integral. Calculando a derivada:
Isso implica que:

Passo 4

Perceba que integral 2x raizx^2+3 , dx = integral raizu , du aparece exatamente na nossa integral original. Então, podemos substituir por :

Passo 5

Agora, a integral está simplificada para:
integral raizu , du
Sabemos que integral u^1/2 , du , então podemos reescrever a integral como:

Passo 6

Vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C . A regra de integração para potências é:
integral u^1/2 , du = u^3/23/2 + C = 23 u^3/2 + C
Aplicando isso aqui, onde :

Passo 7

Agora, substituímos 23 u^3/2 + C = 23 (x^2 + 3)^3/2 + C de volta para :

Resposta

A integral 23 (x^2 + 3)^3/2 + C é igual a:

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