Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
87)
87)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve técnicas de integração, mais especificamente, a substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão que, ao ser substituída por uma variável nova, simplificará a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a resolução. Observamos que temos
dentro da raiz quadrada. Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Calculando a derivada:
Isso implica que:
Passo 4
Perceba que
aparece exatamente na nossa integral original. Então, podemos substituir
por
:
Passo 5
Agora, a integral está simplificada para:
Sabemos que
, então podemos reescrever a integral como:
Passo 6
Vamos integrar
. A regra de integração para potências é:
Aplicando isso aqui, onde
:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta para
:
Resposta
A integral
é igual a:
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97)
Encontre o ponto do plano
que está mais próximo da origem.