Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
87)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve técnicas de integração, mais especificamente, a substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão que, ao ser substituída por uma variável nova, simplificará a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a resolução. Observamos que temos dentro da raiz quadrada. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral. Calculando a derivada:
Isso implica que:

Passo 4

Perceba que aparece exatamente na nossa integral original. Então, podemos substituir por :

Passo 5

Agora, a integral está simplificada para:
Sabemos que , então podemos reescrever a integral como:

Passo 6

Vamos integrar . A regra de integração para potências é:
Aplicando isso aqui, onde :

Passo 7

Agora, substituímos de volta para :

Resposta

A integral é igual a:

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Encontre o ponto do plano que está mais próximo da origem.