Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
97) integral (x-1) d x1+x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma questão de cálculo integral, mais especificamente de integração por partes. Para resolver isso, precisamos saber como dividir a fração e integrar cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes:
integral x , dx1+x^2 - integral 1 , dx1+x^2
Isso facilita a resolução, pois agora temos duas integrais mais simples de calcular.

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx .
Aqui, usamos a substituição. Seja integral x , dx1+x^2 = integral 1u cdot du2 = 12 integral duu = 12 ln|u| + C . Então, a derivada de 12 ln(1 + x^2) + C em relação a é:
Substituindo na integral:
Voltando para :

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral integral 11+x^2 , dx = arctan(x) + C .
Sabemos que a integral de é uma função trigonométrica conhecida:

Passo 5

Juntando as duas partes que resolvemos:
integral (x-1) , dx1+x^2 = 12 ln(1 + x^2) - arctan(x) + C

Resposta

A integral é igual a .

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