Nos exercícios 3 e 4 , calcule o vetor v se o vetor de coordenadas [v]S é dado em relação à base S de V.
4 V=R^3, S=(0,1,-1),(1,0,0),(1,1,1),[v]S=[c-1 1 2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o vetor v sabendo que suas coordenadas na base S são dadas. Estamos trabalhando com vetores no espaço tridimensional R^3. Para resolver, vamos usar a ideia de combinação linear de vetores, ou seja, vamos multiplicar cada vetor da base pelos seus respectivos coeficientes e somar tudo no final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores da base S e os coeficientes que vão multiplicar cada um deles. A base S é composta por três vetores:
S = s1, s2, s3 = (0,1,-1), (1,0,0), (1,1,1)
E o vetor de coordenadas [v]S é dado por:
[v]S = -1 1 2
Isso significa que o primeiro vetor da base será multiplicado por -1, o segundo por 1 e o terceiro por 2.

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo da combinação linear:
  1. Multiplicando o primeiro vetor da base pelo coeficiente -1:
-1 cdot s1 = -1 cdot (0,1,-1) = (0 times -1, 1 times -1, -1 times -1) = (0, -1, 1)
  1. Multiplicando o segundo vetor da base pelo coeficiente 1:
1 cdot s2 = 1 cdot (1,0,0) = (1 times 1, 0 times 1, 0 times 1) = (1, 0, 0)
  1. Multiplicando o terceiro vetor da base pelo coeficiente 2:
2 cdot s3 = 2 cdot (1,1,1) = (1 times 2, 1 times 2, 1 times 2) = (2, 2, 2)

Passo 4

Agora, vamos somar todos esses resultados para obter o vetor v:
v = (0, -1, 1) + (1, 0, 0) + (2, 2, 2)
Fazendo a soma componente a componente:
v = (0 + 1 + 2, -1 + 0 + 2, 1 + 0 + 2) = (3, 1, 3)

Resposta

O vetor v é (3, 1, 3).

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