Forneça duas diferentes fórmulas para duas sequências distintas cujos quatro primeiros termos sejam 2, 4, 6, 8
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente encontrar duas fórmulas diferentes para duas sequências distintas que têm os quatro primeiros termos iguais: 2, 4, 6, 8. Vamos usar conceitos de sequências aritméticas e outras tipos de sequências para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar numa sequência aritmética. Nesse tipo de sequência, a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma. É como se fosse uma progressão constante.
Aqui, os termos são 2, 4, 6, 8. A diferença entre cada termo é 2. Então, a fórmula geral para o n-ésimo termo (aₙ) de uma progressão aritmética é:
Onde:
-
é o primeiro termo (2) -
é a diferença comum (2)
Passo 3
Substituindo os valores na fórmula geral da PA:
Simplificando:
Então, a primeira fórmula para a sequência é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma segunda sequência distinta que também tenha os primeiros quatro termos iguais a 2, 4, 6, 8. Podemos pensar em uma sequência quadrática, onde a fórmula geral tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de A, B e C que satisfazem os quatro primeiros termos.
Passo 5
Vamos montar um sistema de equações usando os termos conhecidos.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Vamos resolver o sistema. Primeiro, subtraímos a equação (1) da (2):
Depois, subtraímos a equação (2) da (3):
Agora, subtraímos a equação (5) da (6):
Passo 7
Com
, substituímos na equação (5):
Agora, com
e
, substituímos na equação (1):
Passo 8
Então, a segunda fórmula para a sequência é:
Ops! Parece que encontramos a mesma fórmula que a primeira. Para termos duas sequências distintas, precisamos ajustar a abordagem. Vamos considerar uma sequência que, além de uma parte linear, tem uma parte periódica ou outra característica que mantenha os primeiros quatro termos iguais.
Passo 9
Vamos pensar em uma sequência alternada. Por exemplo, podemos adicionar uma função que zera nos quatro primeiros termos. Uma opção simples é:
Aqui, a parte
não afeta os termos iniciais, mas a fórmula é estruturalmente diferente da primeira.
Resposta
Duas fórmulas diferentes para a sequência são:
- Sequência Aritmética:
- Sequência Alternada:
Exercícios relacionados
Verdadeiro ou falso? Se for verdadeiro, prove. Se for falso, apresente um contra-exemplo.
c) Se a primeira e a terceira linhas de são iguais, então também são iguais a primeira e a terceira linhas de
.
c) Se a primeira e a terceira linhas de
Verdadeiro ou falso? Se for verdadeiro, prove. Se for falso, apresente um contra-exemplo.
b) ( ) Se a primeira e a terceira linhas de são iguais, então também são iguais a primeira e a terceira linhas de
.
b) ( ) Se a primeira e a terceira linhas de
Encontre os pontos de acumulação de cada sequência
abaixo
R.: 0 e 2
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
R.: 1