Forneça duas diferentes fórmulas para duas sequências distintas cujos quatro primeiros termos sejam 2, 4, 6, 8

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente encontrar duas fórmulas diferentes para duas sequências distintas que têm os quatro primeiros termos iguais: 2, 4, 6, 8. Vamos usar conceitos de sequências aritméticas e outras tipos de sequências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar numa sequência aritmética. Nesse tipo de sequência, a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma. É como se fosse uma progressão constante.
Aqui, os termos são 2, 4, 6, 8. A diferença entre cada termo é 2. Então, a fórmula geral para o n-ésimo termo (aₙ) de uma progressão aritmética é:
Onde:
  • é o primeiro termo (2)
  • é a diferença comum (2)

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula geral da PA:
Simplificando:
Então, a primeira fórmula para a sequência é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma segunda sequência distinta que também tenha os primeiros quatro termos iguais a 2, 4, 6, 8. Podemos pensar em uma sequência quadrática, onde a fórmula geral tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de A, B e C que satisfazem os quatro primeiros termos.

Passo 5

Vamos montar um sistema de equações usando os termos conhecidos.
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 6

Vamos resolver o sistema. Primeiro, subtraímos a equação (1) da (2):
Depois, subtraímos a equação (2) da (3):
Agora, subtraímos a equação (5) da (6):

Passo 7

Com , substituímos na equação (5):
Agora, com e , substituímos na equação (1):

Passo 8

Então, a segunda fórmula para a sequência é:
Ops! Parece que encontramos a mesma fórmula que a primeira. Para termos duas sequências distintas, precisamos ajustar a abordagem. Vamos considerar uma sequência que, além de uma parte linear, tem uma parte periódica ou outra característica que mantenha os primeiros quatro termos iguais.

Passo 9

Vamos pensar em uma sequência alternada. Por exemplo, podemos adicionar uma função que zera nos quatro primeiros termos. Uma opção simples é:
Aqui, a parte não afeta os termos iniciais, mas a fórmula é estruturalmente diferente da primeira.

Resposta

Duas fórmulas diferentes para a sequência são:
  1. Sequência Aritmética:
  1. Sequência Alternada:

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