Utilizando a regra de LHopital, resolva:
A. lim x +infty e^xx^5+2 x^4+10

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o limite quando vai para mais infinito de . A matéria envolvida aqui é o Cálculo, especificamente a Regra de L’Hôpital, que ajuda a resolver limites que dão às vezes uma forma indefinida como . Vamos precisar aplicar essa regra algumas vezes para encontrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o comportamento do numerador e do denominador quando tende ao infinito. Sabemos que cresce muito rápido, exponencialmente, enquanto o denominador cresce como um polinômio de quinto grau. Ambas as funções tendem ao infinito quando vai para infinito, então temos uma forma , que é o cenário perfeito para aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se temos e tanto quanto tendem a 0 ou quando se aproxima de , então podemos calcular o limite das derivadas: .

Passo 4

Vamos aplicar a primeira derivada no numerador e no denominador:
  • Derivada de limx to +infty e^x5x^4 + 8x^3 é .
  • Derivada de é .
Então, nosso novo limite fica:
Ainda temos uma forma , então aplicamos a Regra de L’Hôpital de novo.

Passo 5

Derivando novamente:
  • Derivada de limx to +infty e^x20x^3 + 24x^2 continua sendo .
  • Derivada de é .
O limite agora é:
Continuamos com a mesma forma , então aplicaremos mais a Regra de L’Hôpital.

Passo 6

Mais uma vez, derivamos:
  • Numerador: limx to +infty e^x60x^2 + 48x
  • Denominador:
Novo limite:
Ainda é . Vamos continuar aplicando a Regra de L’Hôpital.

Passo 7

Derivando novamente:
  • Numerador: limx to +infty e^x120x + 48
  • Denominador:
Limite atualizado:
Ainda temos a forma , então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 8

Mais uma derivada:
  • Numerador: limx to +infty e^x120
  • Denominador:
Agora, nosso limite fica:

Resposta

O limite é .

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