Utilizando a regra de LHopital, resolva:
A.
A.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o limite quando
vai para mais infinito de
. A matéria envolvida aqui é o Cálculo, especificamente a Regra de L’Hôpital, que ajuda a resolver limites que dão às vezes uma forma indefinida como
. Vamos precisar aplicar essa regra algumas vezes para encontrar o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o comportamento do numerador e do denominador quando
tende ao infinito. Sabemos que
cresce muito rápido, exponencialmente, enquanto o denominador
cresce como um polinômio de quinto grau. Ambas as funções tendem ao infinito quando
vai para infinito, então temos uma forma
, que é o cenário perfeito para aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se temos
e tanto
quanto
tendem a 0 ou
quando
se aproxima de
, então podemos calcular o limite das derivadas:
.
Passo 4
Vamos aplicar a primeira derivada no numerador e no denominador:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Então, nosso novo limite fica:
Ainda temos uma forma
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital de novo.
Passo 5
Derivando novamente:
- Derivada de
continua sendo . - Derivada de
é .
O limite agora é:
Continuamos com a mesma forma
, então aplicaremos mais a Regra de L’Hôpital.
Passo 6
Mais uma vez, derivamos:
- Numerador:
- Denominador:
Novo limite:
Ainda é
. Vamos continuar aplicando a Regra de L’Hôpital.
Passo 7
Derivando novamente:
- Numerador:
- Denominador:
Limite atualizado:
Ainda temos a forma
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 8
Mais uma derivada:
- Numerador:
- Denominador:
Agora, nosso limite fica:
Resposta
O limite é
.
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B.
B.
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B.
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A.
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