Encontre os pontos críticos das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
. Isso está no conteúdo de cálculo, mais especificamente em derivadas e análise de funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e encontrar onde essa derivada é igual a zero ou não existe.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz como derivar uma função composta, e aqui temos
ao quadrado, que é uma função composta.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia:
Isso porque a derivada de
é
, e multiplicamos pelo coeficiente que está na frente, que é 2.
Passo 4
Agora, simplificamos a expressão da derivada:
Usamos a identidade trigonométrica
para simplificar.
Passo 5
Os pontos críticos ocorrem onde
ou onde a derivada não existe. Como
está sempre definida, só precisamos resolver
.
Passo 6
A equação
é satisfeita quando
, onde
é qualquer número inteiro. Então, dividindo ambos os lados por 2:
Portanto, os pontos críticos estão em
.
Resposta
Os pontos críticos da função
são todos os valores de
da forma
, onde
é um número inteiro.
Exercícios relacionados
Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que,
quando
.
Verifique que as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas em cada intervalo dado e ache todos os valores de
naquele intervalo que satisfazem a conclusão do teorema.
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.
Nos Problemas abaixo resolva o problema de valor inicial dado.