Verifique que as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas em cada intervalo dado e ache todos os valores de
naquele intervalo que satisfazem a conclusão do teorema.
Passo 1
Neste exercício, vamos verificar se o Teorema de Rolle se aplica à função
no intervalo
. O Teorema de Rolle é uma ferramenta do cálculo diferencial que garante a existência de pelo menos um ponto
onde a derivada da função é zero, desde que algumas condições sejam atendidas.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a função
é contínua no intervalo fechado
. A função é contínua em todo ponto onde o denominador não é zero. Como
nunca é zero nesse intervalo (já que
varia de -1 a 1), a função
é contínua em
.
Passo 3
Segundo, vamos conferir se a função é diferenciável no intervalo aberto
. Como
é uma função racional com denominador não nulo em
, ela é diferenciável nesse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
. Calculando:
Como
, todas as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas.
Passo 5
Por fim, de acordo com o Teorema de Rolle, existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada
. Vamos encontrar esse valor.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Usando a regra do quociente:
Igualando a derivada a zero:
Resolvendo a equação quadrática:
Como precisamos que
, verificamos:
Portanto, o valor de
que satisfaz a conclusão do Teorema de Rolle é:
Resposta
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Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que,
quando
.
Encontre os pontos críticos das seguintes funções: