Verifique que as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas em cada intervalo dado e ache todos os valores de naquele intervalo que satisfazem a conclusão do teorema.

Passo 1

Neste exercício, vamos verificar se o Teorema de Rolle se aplica à função no intervalo . O Teorema de Rolle é uma ferramenta do cálculo diferencial que garante a existência de pelo menos um ponto onde a derivada da função é zero, desde que algumas condições sejam atendidas.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a função é contínua no intervalo fechado . A função é contínua em todo ponto onde o denominador não é zero. Como nunca é zero nesse intervalo (já que varia de -1 a 1), a função é contínua em .

Passo 3

Segundo, vamos conferir se a função é diferenciável no intervalo aberto . Como é uma função racional com denominador não nulo em , ela é diferenciável nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos verificar se . Calculando:
Como , todas as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas.

Passo 5

Por fim, de acordo com o Teorema de Rolle, existe pelo menos um ponto em onde a derivada . Vamos encontrar esse valor.
Primeiro, calculamos a derivada de :
Usando a regra do quociente:
Igualando a derivada a zero:
Resolvendo a equação quadrática:
Como precisamos que , verificamos:
á
Portanto, o valor de que satisfaz a conclusão do Teorema de Rolle é:

Resposta

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quando .
Encontre os pontos críticos das seguintes funções: