Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que,
quando .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema do Valor Médio da Cálculo Diferencial. A questão pede para mostrar que, quando , a seguinte desigualdade vale:
Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema do Valor Médio e como aplicá-lo à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que vamos analisar. Aqui, a função é . Vamos aplicar o Teorema do Valor Médio nessa função no intervalo .

Passo 3

O Teorema do Valor Médio diz que se uma função é contínua no intervalo e diferenciável no intervalo , então existe pelo menos um ponto em tal que:
No nosso caso, , , e .

Passo 4

Vamos encontrar a derivada da nossa função :
Segundo o Teorema do Valor Médio, existe um entre e tal que:
Substituindo :

Passo 5

Rearranjando a equação para isolar :
Como está entre e e , então . Isso implica que .

Passo 6

Como , então o denominador na fração é maior que . Portanto:
Isso leva à conclusão que:

Resposta

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