Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que,
quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema do Valor Médio da Cálculo Diferencial. A questão pede para mostrar que, quando
, a seguinte desigualdade vale:
Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema do Valor Médio e como aplicá-lo à função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que vamos analisar. Aqui, a função é
. Vamos aplicar o Teorema do Valor Médio nessa função no intervalo
.
Passo 3
O Teorema do Valor Médio diz que se uma função
é contínua no intervalo
e diferenciável no intervalo
, então existe pelo menos um ponto
em
tal que:
No nosso caso,
,
, e
.
Passo 4
Vamos encontrar a derivada da nossa função
:
Segundo o Teorema do Valor Médio, existe um
entre
e
tal que:
Substituindo
:
Passo 5
Rearranjando a equação para isolar
:
Como
está entre
e
e
, então
. Isso implica que
.
Passo 6
Como
, então o denominador na fração
é maior que
. Portanto:
Isso leva à conclusão que:
Resposta
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naquele intervalo que satisfazem a conclusão do teorema.
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