Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que analisar a função
. O que precisamos fazer aqui é encontrar os pontos críticos, os valores de máximo e mínimo local, as assíntotas e os limites dessa função. Depois disso, vamos usar essas informações para desenhar o gráfico. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial para encontrar derivadas e entender o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a função para facilitar os cálculos. Vamos multiplicar
por
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada de
para identificar os pontos críticos. A derivada nos ajuda a encontrar onde a função tem inclinação zero, ou seja, possíveis pontos de máximo ou mínimo.
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Isso nos dá duas soluções:
-
→ - Resolvendo
usando a fórmula quadrática:
Então, temos:
Portanto, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 5
Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, vamos usar a segunda derivada.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
- Em
:
Como a segunda derivada é zero, precisamos usar outro método, como a primeira derivada, para determinar a natureza do ponto.
- Em
:
Como
, temos um ponto de máximo local em
.
- Em
:
Como
, temos um ponto de mínimo local em
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar as assíntotas da função. Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. Para funções polinomiais como essa, não existem assíntotas verticais ou horizontais, já que os polinômios são definidos para todos os valores de
e tendem ao infinito conforme
tende ao infinito ou menos infinito.
Passo 7
Vamos calcular os limites da função para entender o comportamento dela em extremos:
- Limite quando
tende a infinito:
- Limite quando
tende a menos infinito:
Isso confirma que a função cresce para positivo e negativo infinito conforme
se afasta do centro.
Passo 8
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
- A função passa por
com um ponto de inflexão. - Há um máximo local em
. - Há um mínimo local em
. - A função tende a
quando tende a e a quando tende a . - Não há assíntotas.
Resposta
Os pontos críticos são
(ponto de inflexão),
(máximo local) e
(mínimo local). Não há assíntotas. A função tende a
quando
tende a
e a
quando
tende a
. Com base nisso, o gráfico da função
apresenta um máximo local em
, um mínimo local em
e passa por um ponto de inflexão em
.
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