Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. x^3 * (x-2)^2

Passo 1

Beleza, então a gente tem que analisar a função . O que precisamos fazer aqui é encontrar os pontos críticos, os valores de máximo e mínimo local, as assíntotas e os limites dessa função. Depois disso, vamos usar essas informações para desenhar o gráfico. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial para encontrar derivadas e entender o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a função para facilitar os cálculos. Vamos multiplicar por :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada de para identificar os pontos críticos. A derivada nos ajuda a encontrar onde a função tem inclinação zero, ou seja, possíveis pontos de máximo ou mínimo.

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Isso nos dá duas soluções:
  1. Resolvendo usando a fórmula quadrática:
Então, temos:
Portanto, os pontos críticos são , e .

Passo 5

Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, vamos usar a segunda derivada.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, avaliamos nos pontos críticos:
  1. Em :
Como a segunda derivada é zero, precisamos usar outro método, como a primeira derivada, para determinar a natureza do ponto.
  1. Em :
Como , temos um ponto de máximo local em .
  1. Em :
Como , temos um ponto de mínimo local em .

Passo 6

Agora, vamos encontrar as assíntotas da função. Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. Para funções polinomiais como essa, não existem assíntotas verticais ou horizontais, já que os polinômios são definidos para todos os valores de e tendem ao infinito conforme tende ao infinito ou menos infinito.

Passo 7

Vamos calcular os limites da função para entender o comportamento dela em extremos:
  1. Limite quando tende a infinito:
  1. Limite quando tende a menos infinito:
Isso confirma que a função cresce para positivo e negativo infinito conforme se afasta do centro.

Passo 8

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
  • A função passa por com um ponto de inflexão.
  • Há um máximo local em .
  • Há um mínimo local em .
  • A função tende a quando tende a e a quando tende a .
  • Não há assíntotas.

Resposta

Os pontos críticos são (ponto de inflexão), (máximo local) e (mínimo local). Não há assíntotas. A função tende a quando tende a e a quando tende a . Com base nisso, o gráfico da função apresenta um máximo local em , um mínimo local em e passa por um ponto de inflexão em .

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