Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. x^4 - 2*x^3 + 3

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver esse exercício de cálculo. A questão pede para a gente encontrar os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites da função . Depois disso, com base nesses resultados, vamos esboçar o gráfico da função. Para isso, vamos precisar usar derivadas para achar os pontos críticos e analisar o comportamento da função nos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função para identificar os pontos críticos. A derivada de nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva. Pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos locais.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde :
Assim, temos duas soluções:
Portanto, os pontos críticos estão em e .

Passo 4

Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais, vamos usar a segunda derivada :
Agora, avaliamos nos pontos críticos:
  • Em :
  • Em :
Como , é um ponto de mínimo local. Já para , o teste da segunda derivada foi inconclusivo, então podemos usar o teste da derivada primeira ou observar o comportamento da função para determinar.

Passo 5

Analisando o comportamento da derivada em torno de :
Para , por exemplo :
Para , por exemplo :
A derivada é negativa dos dois lados de , indicando que não há máximo nem mínimo local nesse ponto.

Passo 6

Agora, vamos identificar assíntotas e analisar os limites da função:
Como é um polinômio, ela não possui assíntotas verticais ou horizontais. Os limites para tendendo ao infinito são:
Isso significa que a função cresce para infinito tanto à direita quanto à esquerda no gráfico.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
  • Temos um mínimo local em .
  • A função não possui máximos locais.
  • A função tende ao infinito em ambas as direções.
  • Não há assíntotas.
O gráfico será uma curva que desce até o mínimo em e então sobe para infinito nos dois lados.

Resposta

Os pontos críticos da função são e . Apenas é um ponto de mínimo local. A função não possui assíntotas e seus limites tendem a quando tende a ou . O gráfico apresenta um mínimo em e cresce indefinidamente em ambas as direções.

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