Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções.
Passo 1
Fala aí! Vamos resolver esse exercício de cálculo. A questão pede para a gente encontrar os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites da função
. Depois disso, com base nesses resultados, vamos esboçar o gráfico da função. Para isso, vamos precisar usar derivadas para achar os pontos críticos e analisar o comportamento da função nos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
para identificar os pontos críticos. A derivada de
nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva. Pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos locais.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde
:
Assim, temos duas soluções:
Portanto, os pontos críticos estão em
e
.
Passo 4
Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais, vamos usar a segunda derivada
:
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
- Em
:
- Em
:
Como
,
é um ponto de mínimo local. Já para
, o teste da segunda derivada foi inconclusivo, então podemos usar o teste da derivada primeira ou observar o comportamento da função para determinar.
Passo 5
Analisando o comportamento da derivada em torno de
:
Para , por exemplo
:
Para
Para
, por exemplo
:
A derivada é negativa dos dois lados de
, indicando que não há máximo nem mínimo local nesse ponto.
Passo 6
Agora, vamos identificar assíntotas e analisar os limites da função:
Como é um polinômio, ela não possui assíntotas verticais ou horizontais. Os limites para
tendendo ao infinito são:
Como
Isso significa que a função cresce para infinito tanto à direita quanto à esquerda no gráfico.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
- Temos um mínimo local em
. - A função não possui máximos locais.
- A função tende ao infinito em ambas as direções.
- Não há assíntotas.
O gráfico será uma curva que desce até o mínimo em
e então sobe para infinito nos dois lados.
Resposta
Os pontos críticos da função
são
e
. Apenas
é um ponto de mínimo local. A função não possui assíntotas e seus limites tendem a
quando
tende a
ou
. O gráfico apresenta um mínimo em
e cresce indefinidamente em ambas as direções.
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