Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. 6 x / (x^2 + 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos, os valores de máximo e mínimo local, as assíntotas e os limites da função . Depois, com base nesses resultados, vamos esboçar o gráfico da função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar os pontos críticos e análise de limites para identificar as assíntotas e o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a identificar onde a função tem taxas de variação nulas, ou seja, os pontos críticos.
A função é:
Usaremos a regra do quociente para derivar:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. São os valores de onde a derivada é zero ou não existe.
Como o denominador nunca é zero (porque ), vamos igualar o numerador a zero:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o sinal da primeira derivada ao redor desses pontos. Vou optar pelo segundo método para simplificar.
Vamos pegar valores próximos a e :
  • Para :
    • Se , digamos :
    • Se , digamos :
    • A derivada muda de positiva para negativa passando por , então é um ponto de máximo local.
  • Para :
    • Se , digamos :
    • Se , digamos :
    • A derivada muda de negativa para positiva passando por , então é um ponto de mínimo local.

Passo 5

Vamos calcular os valores de máximo e mínimo substituindo e na função original.
  • Para :
    • Máximo local em .
  • Para :
    • Mínimo local em .

Passo 6

Agora, vamos encontrar as assíntotas da função.
  • Assíntotas verticais: São valores de que tornam o denominador zero, mas o numerador não zero. No nosso caso:
    • Não existem assíntotas verticais.
  • Assíntotas horizontais: Observamos o comportamento da função quando tende a ou .
Então, a função tem uma assíntota horizontal em (o eixo ).

Passo 7

Vamos calcular os limites para entender melhor o comportamento da função:
  • Quando tende a ou , já vimos que:
  • Quando se aproxima de outros valores, não há pontos onde a função não esteja definida além dos extremos, que já tratamos.

Passo 8

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
  • A função não tem assíntotas verticais.
  • Tem uma assíntota horizontal em .
  • Possui um ponto de máximo local em e um ponto de mínimo local em .
  • À medida que vai para , se aproxima de 0.
O gráfico será uma curva que passa por esses pontos, subindo até o máximo em , descendo até o mínimo em , e se aproximando do eixo conforme aumenta ou diminui sem limite.

Resposta

Os pontos críticos da função são (máximo local em ) e (mínimo local em ). A função possui uma assíntota horizontal em e não tem assíntotas verticais. Os limites da função quando tende a são iguais a 0. Com base nisso, o gráfico da função apresenta um máximo em , um mínimo em , e se aproxima do eixo para valores extremos de .

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