Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos, os valores de máximo e mínimo local, as assíntotas e os limites da função
. Depois, com base nesses resultados, vamos esboçar o gráfico da função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar os pontos críticos e análise de limites para identificar as assíntotas e o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a identificar onde a função tem taxas de variação nulas, ou seja, os pontos críticos.
A função é:
Usaremos a regra do quociente para derivar:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. São os valores de
onde a derivada é zero ou não existe.
Como o denominador
nunca é zero (porque
), vamos igualar o numerador a zero:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o sinal da primeira derivada ao redor desses pontos. Vou optar pelo segundo método para simplificar.
Vamos pegar valores próximos a
e
:
-
Para
: - Se
, digamos : - Se
, digamos : - A derivada muda de positiva para negativa passando por
, então é um ponto de máximo local.
- Se
-
Para
: - Se
, digamos : - Se
, digamos : - A derivada muda de negativa para positiva passando por
, então é um ponto de mínimo local.
- Se
Passo 5
Vamos calcular os valores de máximo e mínimo substituindo
e
na função original.
-
Para
: - Máximo local em
.
- Máximo local em
-
Para
: - Mínimo local em
.
- Mínimo local em
Passo 6
Agora, vamos encontrar as assíntotas da função.
-
Assíntotas verticais: São valores de
que tornam o denominador zero, mas o numerador não zero. No nosso caso: - Não existem assíntotas verticais.
-
Assíntotas horizontais: Observamos o comportamento da função quando
tende a ou .
Então, a função tem uma assíntota horizontal em
(o eixo
).
Passo 7
Vamos calcular os limites para entender melhor o comportamento da função:
-
Quando
tende a ou , já vimos que: -
Quando
se aproxima de outros valores, não há pontos onde a função não esteja definida além dos extremos, que já tratamos.
Passo 8
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
- A função não tem assíntotas verticais.
- Tem uma assíntota horizontal em
. - Possui um ponto de máximo local em
e um ponto de mínimo local em . - À medida que
vai para , se aproxima de 0.
O gráfico será uma curva que passa por esses pontos, subindo até o máximo em
, descendo até o mínimo em
, e se aproximando do eixo
conforme
aumenta ou diminui sem limite.
Resposta
Os pontos críticos da função
são
(máximo local em
) e
(mínimo local em
). A função possui uma assíntota horizontal em
e não tem assíntotas verticais. Os limites da função quando
tende a
são iguais a 0. Com base nisso, o gráfico da função apresenta um máximo em
, um mínimo em
, e se aproxima do eixo
para valores extremos de
.
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