Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. x e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo! A gente precisa encontrar os pontos críticos, os valores de máximo e mínimo local, as assíntotas e os limites da função . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, análise de comportamento assintótico e cálculo de limites. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a encontrar os pontos críticos, onde a inclinação da curva é zero ou indefinida. Para derivar , usamos a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Sabemos que nunca é zero, então:
Então, o ponto crítico ocorre em .

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, analisamos a segunda derivada :
Avalie :
Como , temos um mínimo local em .

Passo 5

Vamos verificar as assíntotas da função .
  • Assíntota vertical: Não há, pois nunca é zero e não há divisão por zero.
  • Assíntota horizontal: Analisamos os limites quando tende a e .
á
Então, há uma assíntota horizontal em quando .

Passo 6

Agora, vamos calcular os limites para completar a análise:

Resposta

Encontramos que a função possui um ponto crítico em , que é um mínimo local. Não há assíntotas verticais, mas há uma assíntota horizontal em quando . Os limites mostram que tende a quando e a quando . Com base nessas informações, podemos esboçar o gráfico da função, que terá um mínimo em e crescerá exponencialmente para .

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