Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo! A gente precisa encontrar os pontos críticos, os valores de máximo e mínimo local, as assíntotas e os limites da função
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, análise de comportamento assintótico e cálculo de limites. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a encontrar os pontos críticos, onde a inclinação da curva é zero ou indefinida. Para derivar
, usamos a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Sabemos que
nunca é zero, então:
Então, o ponto crítico ocorre em
.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, analisamos a segunda derivada
:
Avalie
:
Como
, temos um mínimo local em
.
Passo 5
Vamos verificar as assíntotas da função
.
- Assíntota vertical: Não há, pois
nunca é zero e não há divisão por zero. - Assíntota horizontal: Analisamos os limites quando
tende a e .
Então, há uma assíntota horizontal em
quando
.
Passo 6
Agora, vamos calcular os limites para completar a análise:
Resposta
Encontramos que a função
possui um ponto crítico em
, que é um mínimo local. Não há assíntotas verticais, mas há uma assíntota horizontal em
quando
. Os limites mostram que
tende a
quando
e a
quando
. Com base nessas informações, podemos esboçar o gráfico da função, que terá um mínimo em
e crescerá exponencialmente para
.
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e
positivos.