Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. (x+2)^(2/3) * (x-5)^(2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites da função . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas para encontrar pontos críticos e analisar o comportamento da função para determinar assíntotas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . Usaremos a regra do produto, que diz que se , então .
Aqui, e .
Calculando as derivadas individuais:
  • Derivada de :
  • Derivada de :
Agora aplicamos a regra do produto:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão da derivada :
Para facilitar a resolução, podemos fatorar e :
Simplificando o que está dentro dos colchetes:
Portanto, a derivada fica:
Ou simplificando os coeficientes:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde ou onde não está definida.
  1. Onde :
    Isso acontece quando o numerador :
  2. Onde não está definida:
    O denominador quando
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 5

Vamos determinar se esses pontos críticos correspondem a máximos ou mínimos locais usando o teste da derivada primeira.
  1. Para :
    • Escolhemos valores próximos a , por exemplo, e .
    • Calculando :
      • Para :
      • Para :
    • Como o sinal da derivada não muda, não é nem máximo nem mínimo local.
  2. Para :
    • Escolhemos valores próximos a , por exemplo, e .
    • Calculando :
      • Para :
      • Para :
    • A derivada muda de negativo para positivo, indicando que é um mínimo local.
  3. Para :
    • Esse ponto é onde a derivada não está definida.
    • Analisando os limites próximos a :
      • Para aproximando-se de pela direita,
      • Para aproximando-se de pela esquerda,
    • Isso sugere que é um ponto de inflexão, não correspondendo a máximo ou mínimo.

Passo 6

Vamos verificar as assíntotas da função.
  1. Assíntotas Verticais:
    • São linhas do tipo onde a função tende ao infinito.
    • Analisando a função , observamos que:
      • está definida para todo , já que a raiz cúbica está definida para números negativos.
      • também está definida para todo .
    • Portanto, não há assíntotas verticais.
  2. Assíntotas Horizontais:
    • Analisamos o comportamento de quando .
    • Para :
    • Para :
    • Não há assíntotas horizontais.
  3. Assíntotas Oblíquas:
    • Como a função tende ao infinito em ambos os lados sem se aproximar de uma linha reta, não há assíntotas oblíquas.

Passo 7

Vamos calcular os limites para entender o comportamento da função em pontos críticos e no infinito.
  1. Limite quando :
  2. Limites quando :
    • Já vimos que
  3. Limite quando :

Passo 8

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
  • Pontos importantes:
    • Ponto de mínimo local em
    • Ponto de inflexão em
    • A função passa pelos pontos e
  • Comportamento nos limites:
    • A função cresce para
  • Sem assíntotas verticais ou horizontais
O gráfico terá uma curva que desce até e depois sobe, passando pelos pontos mencionados, e se comporta simetricamente nos extremos.

Resposta

A função possui um ponto de mínimo local em , um ponto de inflexão em , sem assíntotas verticais ou horizontais, e os limites conforme tende a e são iguais a zero. O gráfico apresenta uma curva que desce até e sobe para ambos os lados, passando pelos pontos e .

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