Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites da função
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas para encontrar pontos críticos e analisar o comportamento da função para determinar assíntotas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. Usaremos a regra do produto, que diz que se
, então
.
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas individuais:
- Derivada de
: - Derivada de
:
Agora aplicamos a regra do produto:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão da derivada
:
Para facilitar a resolução, podemos fatorar
e
:
Simplificando o que está dentro dos colchetes:
Portanto, a derivada fica:
Ou simplificando os coeficientes:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde
ou onde
não está definida.
-
Onde
: Isso acontece quando o numerador: -
⇒ -
⇒
-
-
Onde
não está definida:
O denominadorquando ⇒
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 5
Vamos determinar se esses pontos críticos correspondem a máximos ou mínimos locais usando o teste da derivada primeira.
-
Para
: - Escolhemos valores próximos a
, por exemplo, e . - Calculando
: - Para
: - Para
:
- Para
- Como o sinal da derivada não muda,
não é nem máximo nem mínimo local.
- Escolhemos valores próximos a
-
Para
: - Escolhemos valores próximos a
, por exemplo, e . - Calculando
: - Para
: - Para
:
- Para
- A derivada muda de negativo para positivo, indicando que
é um mínimo local.
- Escolhemos valores próximos a
-
Para
: - Esse ponto é onde a derivada não está definida.
- Analisando os limites próximos a
: - Para
aproximando-se de pela direita, - Para
aproximando-se de pela esquerda,
- Para
- Isso sugere que
é um ponto de inflexão, não correspondendo a máximo ou mínimo.
Passo 6
Vamos verificar as assíntotas da função.
-
Assíntotas Verticais:
- São linhas do tipo
onde a função tende ao infinito. - Analisando a função
, observamos que: -
está definida para todo , já que a raiz cúbica está definida para números negativos. -
também está definida para todo .
-
- Portanto, não há assíntotas verticais.
- São linhas do tipo
-
Assíntotas Horizontais:
- Analisamos o comportamento de
quando . - Para
: - Para
: - Não há assíntotas horizontais.
- Analisamos o comportamento de
-
Assíntotas Oblíquas:
- Como a função tende ao infinito em ambos os lados sem se aproximar de uma linha reta, não há assíntotas oblíquas.
Passo 7
Vamos calcular os limites para entender o comportamento da função em pontos críticos e no infinito.
-
Limite quando
: -
Limites quando
: - Já vimos que
- Já vimos que
-
Limite quando
:
Passo 8
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
-
Pontos importantes:
- Ponto de mínimo local em
- Ponto de inflexão em
- A função passa pelos pontos
e
- Ponto de mínimo local em
-
Comportamento nos limites:
- A função cresce para
- A função cresce para
-
Sem assíntotas verticais ou horizontais
O gráfico terá uma curva que desce até
e depois sobe, passando pelos pontos mencionados, e se comporta simetricamente nos extremos.
Resposta
A função possui um ponto de mínimo local em
, um ponto de inflexão em
, sem assíntotas verticais ou horizontais, e os limites conforme
tende a
e
são iguais a zero. O gráfico apresenta uma curva que desce até
e sobe para ambos os lados, passando pelos pontos
e
.
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e
positivos.
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