Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções.
e
positivos.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos encontrar os pontos críticos, os valores de máximo e mínimo local, as assíntotas e os limites da função
, onde
e
são positivos. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas para encontrar os pontos críticos, e análise de limites para determinar as assíntotas e o comportamento da função nos extremos.
Passo 2
Encontrando os pontos críticos:
Pontos críticos são onde a derivada da função é igual a zero ou onde a derivada não existe. Primeiro, vamos encontrar a derivada de
.
A derivada de
em relação a
é
. Aplicando isso:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(como
):
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, isolamos
:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Finalmente, resolvemos para
:
Portanto, temos um ponto crítico em:
Passo 3
Determinação de máximo ou mínimo local:
Para saber se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, analisamos a segunda derivada da função
.
Primeiro, encontramos a segunda derivada:
Observamos que
e
são positivos, e
também é positivo, então
é sempre positivo para todo
. Isso significa que a função é côncava para cima em todo o domínio, e o ponto crítico encontrado é um mínimo local.
Passo 4
Análise de limites e assíntotas:
Vamos analisar os limites da função
quando
tende a
e
.
-
Quando
: Portanto: -
Quando
: Portanto:
Assíntotas:
Como a função tende a
em ambas as direções, não há assíntotas horizontais ou verticais. A função cresce exponencialmente para
.
Passo 5
Esboço do gráfico:
Com base nas informações obtidas:
- A função tem um único mínimo local em
. - A função tende a
quando tende a e a . - Não há assíntotas horizontais ou verticais.
O gráfico será uma curva exponencial que desce até o mínimo local e depois sobe novamente, exibindo simetria dependendo dos valores de
e
.
Resposta
O ponto crítico da função
ocorre em
e representa um mínimo local. A função não possui assíntotas e tende a
quando
tende a
. O esboço do gráfico apresenta uma curva exponencial descendo até o mínimo local e subindo novamente, sem limites assintóticos.
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