Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. a e^(c x) + b e^(-c x) e b positivos.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos encontrar os pontos críticos, os valores de máximo e mínimo local, as assíntotas e os limites da função , onde e são positivos. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas para encontrar os pontos críticos, e análise de limites para determinar as assíntotas e o comportamento da função nos extremos.

Passo 2

Encontrando os pontos críticos:
Pontos críticos são onde a derivada da função é igual a zero ou onde a derivada não existe. Primeiro, vamos encontrar a derivada de .
A derivada de em relação a é . Aplicando isso:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (como ):
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, isolamos :
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Finalmente, resolvemos para :
Portanto, temos um ponto crítico em:

Passo 3

Determinação de máximo ou mínimo local:
Para saber se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, analisamos a segunda derivada da função .
Primeiro, encontramos a segunda derivada:
Observamos que e são positivos, e também é positivo, então é sempre positivo para todo . Isso significa que a função é côncava para cima em todo o domínio, e o ponto crítico encontrado é um mínimo local.

Passo 4

Análise de limites e assíntotas:
Vamos analisar os limites da função quando tende a e .
  • Quando :
    Portanto:
  • Quando :
    Portanto:
Assíntotas:
Como a função tende a em ambas as direções, não há assíntotas horizontais ou verticais. A função cresce exponencialmente para .

Passo 5

Esboço do gráfico:
Com base nas informações obtidas:
  • A função tem um único mínimo local em .
  • A função tende a quando tende a e a .
  • Não há assíntotas horizontais ou verticais.
O gráfico será uma curva exponencial que desce até o mínimo local e depois sobe novamente, exibindo simetria dependendo dos valores de e .

Resposta

O ponto crítico da função ocorre em e representa um mínimo local. A função não possui assíntotas e tende a quando tende a . O esboço do gráfico apresenta uma curva exponencial descendo até o mínimo local e subindo novamente, sem limites assintóticos.

Exercícios relacionados

Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. (x+2)^(2/3) * (x-5)^(2)
Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. x e^x
Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. x^2/2 - x^3/3
Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. 3 e^(-x^2)