Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa encontrar os pontos críticos, os valores de máximo e mínimo local, as assíntotas e os limites da função
. Basicamente, vamos usar cálculo, especialmente derivadas, para entender o comportamento dessa função e, no final, esboçar o gráfico dela.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Eles são importantes porque podem ser pontos de máximo ou mínimo.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos, vamos usar a segunda derivada. Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de
:
Passo 6
Agora, avaliamos
em cada ponto crítico:
- Para
:
Como a segunda derivada é positiva,
é um ponto de mínimo local.
- Para
:
Como a segunda derivada é negativa,
é um ponto de máximo local.
Passo 7
Agora, vamos procurar assíntotas da função. Assíntotas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas.
Primeiro, observamos que a função
é um polinômio de terceiro grau, então ela não tem assíntotas verticais ou horizontais, mas pode ter uma assíntota oblíqua.
Passo 8
Para encontrar uma possível assíntota oblíqua, analisamos o limite de
quando
tende ao infinito ou menos infinito.
Como a função tende ao infinito, não há assíntota oblíqua nesse caso.
Passo 9
Agora, vamos calcular os limites da função em pontos específicos e no infinito para entender melhor seu comportamento.
- Limite quando
:
- Limite quando
:
- Limite quando
:
Passo 10
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
- A função tem um mínimo local em
e um máximo local em . - Não há assíntotas.
- Quando
vai para positivo infinito, vai para negativo infinito, e quando vai para negativo infinito, vai para infinito.
Resposta
Os pontos críticos da função
são
(mínimo local) e
(máximo local). A função não possui assíntotas. Os limites são
e
. Com base nesses resultados, o gráfico apresenta um máximo em
, um mínimo em
, descendo para
quando
aumenta e subindo para
quando
diminui.
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e
positivos.
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