Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. x^2/2 - x^3/3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa encontrar os pontos críticos, os valores de máximo e mínimo local, as assíntotas e os limites da função . Basicamente, vamos usar cálculo, especialmente derivadas, para entender o comportamento dessa função e, no final, esboçar o gráfico dela.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Eles são importantes porque podem ser pontos de máximo ou mínimo.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de :

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde :
Então, os pontos críticos são e .

Passo 5

Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos, vamos usar a segunda derivada. Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de :

Passo 6

Agora, avaliamos em cada ponto crítico:
  • Para :
Como a segunda derivada é positiva, é um ponto de mínimo local.
  • Para :
Como a segunda derivada é negativa, é um ponto de máximo local.

Passo 7

Agora, vamos procurar assíntotas da função. Assíntotas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas.
Primeiro, observamos que a função é um polinômio de terceiro grau, então ela não tem assíntotas verticais ou horizontais, mas pode ter uma assíntota oblíqua.

Passo 8

Para encontrar uma possível assíntota oblíqua, analisamos o limite de quando tende ao infinito ou menos infinito.
Como a função tende ao infinito, não há assíntota oblíqua nesse caso.

Passo 9

Agora, vamos calcular os limites da função em pontos específicos e no infinito para entender melhor seu comportamento.
  • Limite quando :
  • Limite quando :
  • Limite quando :

Passo 10

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
  • A função tem um mínimo local em e um máximo local em .
  • Não há assíntotas.
  • Quando vai para positivo infinito, vai para negativo infinito, e quando vai para negativo infinito, vai para infinito.

Resposta

Os pontos críticos da função são (mínimo local) e (máximo local). A função não possui assíntotas. Os limites são e . Com base nesses resultados, o gráfico apresenta um máximo em , um mínimo em , descendo para quando aumenta e subindo para quando diminui.

Exercícios relacionados

Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. a e^(c x) + b e^(-c x) e b positivos.
Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. (x+2)^(2/3) * (x-5)^(2)
Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. 3 e^(-x^2)
Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. 3 x e^(-x)