Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. 3 e^(-x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos, os valores de máximo e mínimo local, as assíntotas e os limites da função . Depois disso, vamos usar esses resultados para esboçar o gráfico da função. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo, como derivadas para encontrar os pontos críticos e limites para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a identificar os pontos onde a função tem máximos ou mínimos locais.
A regra da cadeia nos diz que, para derivar , a derivada é . No nosso caso, , então .
Então, a derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. Como a derivada existe para todo , só precisamos encontrar onde ela é igual a zero.
A exponencial nunca é zero, então a equação se reduz a:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Vamos determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo local. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada :
Agora, avaliamos em :
Como a segunda derivada é negativa, isso significa que é um ponto de máximo local.

Passo 5

Vamos agora identificar as assíntotas da função. Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca ou cruza.
Para :
  • Assíntota horizontal: Observamos o comportamento da função quando tende a ou .
Então, a função tem uma assíntota horizontal em .
  • Assíntotas verticais: Não há valores de que façam a função não existir ou tender ao infinito. Portanto, não há assíntotas verticais.

Passo 6

Agora, vamos calcular os limites da função:
  1. Limite quando tende a :
  1. Limite quando tende a :
  1. Limite quando tende a :

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
  • A função atinge seu máximo em com .
  • A função é sempre positiva e tende a zero quando vai para ou , devido à assíntota horizontal em .
  • Não há assíntotas verticais.
  • A forma da função é uma curva simétrica em relação ao eixo , devido ao termo no expoente.

Resposta

Os pontos críticos da função ocorrem em , que é um ponto de máximo local com valor . A função possui uma assíntota horizontal em e não possui assíntotas verticais. Os limites da função são e . Com base nisso, o gráfico da função é uma curva simétrica em relação ao eixo , alcançando o ponto máximo em e aproximando-se de conforme tende a .

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