Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos, os valores de máximo e mínimo local, as assíntotas e os limites da função
. Depois disso, vamos usar esses resultados para esboçar o gráfico da função. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo, como derivadas para encontrar os pontos críticos e limites para analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a identificar os pontos onde a função tem máximos ou mínimos locais.
A regra da cadeia nos diz que, para derivar
, a derivada é
. No nosso caso,
, então
.
Então, a derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. Como a derivada
existe para todo
, só precisamos encontrar onde ela é igual a zero.
A exponencial
nunca é zero, então a equação se reduz a:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Vamos determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo local. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada
:
Agora, avaliamos
em
:
Como a segunda derivada é negativa, isso significa que
é um ponto de máximo local.
Passo 5
Vamos agora identificar as assíntotas da função. Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca ou cruza.
Para
:
- Assíntota horizontal: Observamos o comportamento da função quando
tende a ou .
Então, a função tem uma assíntota horizontal em
.
- Assíntotas verticais: Não há valores de
que façam a função não existir ou tender ao infinito. Portanto, não há assíntotas verticais.
Passo 6
Agora, vamos calcular os limites da função:
- Limite quando
tende a :
- Limite quando
tende a :
- Limite quando
tende a :
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
- A função atinge seu máximo em
com . - A função é sempre positiva e tende a zero quando
vai para ou , devido à assíntota horizontal em . - Não há assíntotas verticais.
- A forma da função é uma curva simétrica em relação ao eixo
, devido ao termo no expoente.
Resposta
Os pontos críticos da função
ocorrem em
, que é um ponto de máximo local com valor
. A função possui uma assíntota horizontal em
e não possui assíntotas verticais. Os limites da função são
e
. Com base nisso, o gráfico da função é uma curva simétrica em relação ao eixo
, alcançando o ponto máximo em
e aproximando-se de
conforme
tende a
.
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e
positivos.
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