Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos críticos, os valores de máximo e mínimo local, as assíntotas e os limites da função
. Além disso, com base nesses resultados, precisamos esboçar o gráfico da função. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, e entender um pouco sobre comportamento assintótico de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos derivar
:
Usando a regra do produto para derivadas:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Como
nunca é zero, temos:
Então, o ponto crítico está em
.
Passo 3
Agora, vamos determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo local. Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos a segunda derivada
:
A primeira derivada é:
Derivando novamente:
Agora, avaliamos a segunda derivada no ponto
:
Como
, isso indica que a função tem um máximo local em
.
Passo 4
Vamos agora procurar pelas assíntotas da função. Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca ou cruza. Existem dois tipos principais: assíntotas verticais e horizontais.
Assíntotas Verticais: Ocorrem onde a função tende ao infinito. Vamos analisar a função
. O termo
nunca é zero, então não há valores de
que façam a função tender ao infinito. Portanto, não há assíntotas verticais.
Assíntotas Horizontais: Verificamos os limites da função quando
tende ao infinito positivo e negativo.
Passo 5
Vamos calcular os limites da função nas extremidades:
- Limite quando
:
Sabemos que
tende a zero mais rápido do que
tende ao infinito. Portanto:
- Limite quando
:
Aqui,
tende a
e
tende a
. Então temos uma forma
, que tende a
:
Assim, a função tem uma assíntota horizontal em
quando
.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
- A função cruza o eixo
quando :
- Temos um máximo local em
:
- Quando
, (assíntota horizontal). - Quando
, .
Com isso, o gráfico sobe de
, atinge o ponto
e depois decresce assintoticamente para
.
Resposta
Resumindo, a função
possui:
- Ponto crítico em
. - Máximo local no ponto
. - Assíntota horizontal em
. - Limite quando
é e quando é .
Com base nesses resultados, o gráfico da função apresenta um pico em
e decresce para
conforme
aumenta, além de diminuir sem limite quando
diminui.
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