Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. 3 x e^(-x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos críticos, os valores de máximo e mínimo local, as assíntotas e os limites da função . Além disso, com base nesses resultados, precisamos esboçar o gráfico da função. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, e entender um pouco sobre comportamento assintótico de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos derivar :
Usando a regra do produto para derivadas:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Como nunca é zero, temos:
Então, o ponto crítico está em .

Passo 3

Agora, vamos determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo local. Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos a segunda derivada :
A primeira derivada é:
Derivando novamente:
Agora, avaliamos a segunda derivada no ponto :
Como , isso indica que a função tem um máximo local em .

Passo 4

Vamos agora procurar pelas assíntotas da função. Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca ou cruza. Existem dois tipos principais: assíntotas verticais e horizontais.
Assíntotas Verticais: Ocorrem onde a função tende ao infinito. Vamos analisar a função . O termo nunca é zero, então não há valores de que façam a função tender ao infinito. Portanto, não há assíntotas verticais.
Assíntotas Horizontais: Verificamos os limites da função quando tende ao infinito positivo e negativo.

Passo 5

Vamos calcular os limites da função nas extremidades:
  1. Limite quando :
Sabemos que tende a zero mais rápido do que tende ao infinito. Portanto:
  1. Limite quando :
Aqui, tende a e tende a . Então temos uma forma , que tende a :
Assim, a função tem uma assíntota horizontal em quando .

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
  • A função cruza o eixo quando :
  • Temos um máximo local em :
  • Quando , (assíntota horizontal).
  • Quando , .
Com isso, o gráfico sobe de , atinge o ponto e depois decresce assintoticamente para .

Resposta

Resumindo, a função possui:
  • Ponto crítico em .
  • Máximo local no ponto .
  • Assíntota horizontal em .
  • Limite quando é e quando é .
Com base nesses resultados, o gráfico da função apresenta um pico em e decresce para conforme aumenta, além de diminuir sem limite quando diminui.

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