Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos, os valores de máximo e mínimo local, as assíntotas e os limites da função
para
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, como derivadas e análise de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função para encontrar os pontos críticos. A função é
. Vamos reescrever essa função para facilitar a derivação usando logaritmos:
Agora, derivamos ambos os lados em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Portanto:
Passo 3
Vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é zero ou indefinida. A derivada
será zero quando o numerador
:
Essa equação não tem solução analítica fácil, então vamos resolver numericamente. Testando valores:
- Para
: (positivo) - Para
: (positivo)
Vemos que a derivada nunca é zero para
, então não há pontos críticos onde
.
Passo 4
Agora, vamos analisar os limites da função para entender o comportamento da gráfica.
- Limite quando
tende a 0:
Isso porque, conforme
se aproxima de 0 pela direita,
tende a
, e
tende a 0.
- Limite quando
tende a :
Já que
tende a 0, e qualquer número diferente de zero elevado a 0 tende a 1.
Passo 5
Vamos verificar se há assíntotas horizontais. Com base nos limites:
- Quando
, . - Quando
, .
Assim, existe uma assíntota horizontal em
.
Quanto a assíntotas verticais, não há, pois a função está definida para
e não apresenta comportamentos que indiquem uma assíntota vertical.
Passo 6
Finalmente, como não encontramos pontos críticos onde a derivada é zero, não há máximos ou mínimos locais na função
para
.
Resposta
A função
não possui pontos críticos com máximos ou mínimos locais para
. Possui uma assíntota horizontal em
, com limites
e
. Com base nisso, o gráfico da função se aproxima da linha
à medida que
cresce e tende a 0 quando
se aproxima de 0.
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