Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. x^(1/x), x ≥ 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos, os valores de máximo e mínimo local, as assíntotas e os limites da função para . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, como derivadas e análise de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função para encontrar os pontos críticos. A função é . Vamos reescrever essa função para facilitar a derivação usando logaritmos:
Agora, derivamos ambos os lados em relação a :
Aplicando a regra do quociente:
Portanto:

Passo 3

Vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é zero ou indefinida. A derivada será zero quando o numerador :
Essa equação não tem solução analítica fácil, então vamos resolver numericamente. Testando valores:
  • Para : (positivo)
  • Para : (positivo)
Vemos que a derivada nunca é zero para , então não há pontos críticos onde .

Passo 4

Agora, vamos analisar os limites da função para entender o comportamento da gráfica.
  1. Limite quando tende a 0:
Isso porque, conforme se aproxima de 0 pela direita, tende a , e tende a 0.
  1. Limite quando tende a :
Já que tende a 0, e qualquer número diferente de zero elevado a 0 tende a 1.

Passo 5

Vamos verificar se há assíntotas horizontais. Com base nos limites:
  • Quando , .
  • Quando , .
Assim, existe uma assíntota horizontal em .
Quanto a assíntotas verticais, não há, pois a função está definida para e não apresenta comportamentos que indiquem uma assíntota vertical.

Passo 6

Finalmente, como não encontramos pontos críticos onde a derivada é zero, não há máximos ou mínimos locais na função para .

Resposta

A função não possui pontos críticos com máximos ou mínimos locais para . Possui uma assíntota horizontal em , com limites e . Com base nisso, o gráfico da função se aproxima da linha à medida que cresce e tende a 0 quando se aproxima de 0.

Exercícios relacionados

Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. 3 x e^(-x)
Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. 3 e^(-x^2)
Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. 3x^5 - 65x^3 + 540x
Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. 3 e^(2 x) + 5 e^(-2 x)