Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. 3x^5 - 65x^3 + 540x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A função que a gente vai analisar é . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os pontos críticos, determinar onde a função tem máximos e mínimos locais, verificar se existem assíntotas, calcular os limites e, por fim, esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e análise de comportamento de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são valores de onde a derivada da função é zero ou não existe. Como estamos lidando com um polinômio, a derivada sempre existe, então só precisamos resolver .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :
Agora, vamos resolver :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 15:
Vamos fazer uma substituição para facilitar: seja . A equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, ou . Voltando para :
Então, os pontos críticos são .

Passo 4

Agora, vamos determinar quais desses pontos críticos são máximos ou mínimos locais. Para isso, podemos usar a segunda derivada:
Vamos avaliar nos pontos críticos:
  • Para :
á
  • Para :
í
  • Para :
á
  • Para :
í
Então, temos:
  • : Máximo local
  • : Mínimo local
  • : Máximo local
  • : Mínimo local

Passo 5

Vamos verificar as assíntotas da função. Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca. Existem assíntotas verticais, horizontais e oblíquas.
Para funções polinomiais, não existem assíntotas verticais, já que os polinômios são definidos para todo . Também, para o comportamento em tendendo ao infinito, não há assíntotas horizontais ou oblíquas, pois o grau do numerador é maior que o do denominador (no caso de funções racionais). Como estamos lidando com um polinômio, não temos assíntotas.

Passo 6

Agora, vamos calcular os limites da função quando tende a e :
Isso nos mostra que, conforme aumenta sem limite, também vai para , e conforme diminui sem limite (vai para negativo infinito), também vai para .

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
  • A função é um polinômio de grau 5, o que significa que se estende para em uma direção e na outra.
  • Temos máximos locais em e .
  • Temos mínimos locais em e .
  • Não há assíntotas.
  • Os limites às extremidades confirmam o comportamento geral da função.

Resposta

Os pontos críticos são . A função apresenta máximos locais em e , e mínimos locais em e . Não existem assíntotas. Os limites são:

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