Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A função que a gente vai analisar é
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os pontos críticos, determinar onde a função tem máximos e mínimos locais, verificar se existem assíntotas, calcular os limites e, por fim, esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e análise de comportamento de funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são valores de
onde a derivada da função é zero ou não existe. Como estamos lidando com um polinômio, a derivada sempre existe, então só precisamos resolver
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, vamos resolver
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 15:
Vamos fazer uma substituição para facilitar: seja
. A equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto,
ou
. Voltando para
:
Então, os pontos críticos são
.
Passo 4
Agora, vamos determinar quais desses pontos críticos são máximos ou mínimos locais. Para isso, podemos usar a segunda derivada:
Vamos avaliar
nos pontos críticos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, temos:
-
: Máximo local -
: Mínimo local -
: Máximo local -
: Mínimo local
Passo 5
Vamos verificar as assíntotas da função. Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca. Existem assíntotas verticais, horizontais e oblíquas.
Para funções polinomiais, não existem assíntotas verticais, já que os polinômios são definidos para todo
. Também, para o comportamento em
tendendo ao infinito, não há assíntotas horizontais ou oblíquas, pois o grau do numerador é maior que o do denominador (no caso de funções racionais). Como estamos lidando com um polinômio, não temos assíntotas.
Passo 6
Agora, vamos calcular os limites da função quando
tende a
e
:
Isso nos mostra que, conforme
aumenta sem limite,
também vai para
, e conforme
diminui sem limite (vai para negativo infinito),
também vai para
.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
- A função é um polinômio de grau 5, o que significa que se estende para
em uma direção e na outra. - Temos máximos locais em
e . - Temos mínimos locais em
e . - Não há assíntotas.
- Os limites às extremidades confirmam o comportamento geral da função.
Resposta
Os pontos críticos são
. A função apresenta máximos locais em
e
, e mínimos locais em
e
. Não existem assíntotas. Os limites são:
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