Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. 3 e^(2 x) + 5 e^(-2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites da função . Para isso, vamos precisar usar derivadas para achar os pontos críticos, analisar os limites para entender o comportamento da função quando vai para infinito ou menos infinito, e identificar possíveis assíntotas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a identificar os pontos onde a inclinação da curva é zero, ou seja, os pontos críticos.
A derivada de é . Aplicando isso:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Vamos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por para eliminar o termo :
Agora, aplicamos o logaritmo natural:

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um ponto de máximo ou mínimo local, vamos analisar a segunda derivada :
Primeiro, derivamos :
Agora, vamos calcular no ponto crítico :
Como todos os termos na segunda derivada são positivos ( e são sempre positivos), para todo . Isso significa que a curva está “sorrindo” no ponto crítico, indicando que temos um ponto de mínimo local.

Passo 5

Vamos agora encontrar os limites da função quando tende a infinito positivo e negativo, para identificar possíveis assíntotas:
  1. Quando :
á
  1. Quando :
à
Não há assíntotas horizontais ou verticais, já que os limites vão para o infinito em ambas as direções.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
  • Ponto de mínimo local em .
  • A função cresce para e também para .
  • Não há assíntotas.
  • A função está sempre acima de zero, já que soma de exponenciais positivas.

Resposta

A função possui um ponto de mínimo local em . Não há assíntotas e os limites da função tendem a tanto para quanto para .

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