Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites da função
. Para isso, vamos precisar usar derivadas para achar os pontos críticos, analisar os limites para entender o comportamento da função quando
vai para infinito ou menos infinito, e identificar possíveis assíntotas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a identificar os pontos onde a inclinação da curva é zero, ou seja, os pontos críticos.
A derivada de
é
. Aplicando isso:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Vamos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por
para eliminar o termo
:
Agora, aplicamos o logaritmo natural:
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um ponto de máximo ou mínimo local, vamos analisar a segunda derivada
:
Primeiro, derivamos
:
Agora, vamos calcular
no ponto crítico
:
Como todos os termos na segunda derivada são positivos (
e
são sempre positivos),
para todo
. Isso significa que a curva está “sorrindo” no ponto crítico, indicando que temos um ponto de mínimo local.
Passo 5
Vamos agora encontrar os limites da função
quando
tende a infinito positivo e negativo, para identificar possíveis assíntotas:
- Quando
:
- Quando
:
Não há assíntotas horizontais ou verticais, já que os limites vão para o infinito em ambas as direções.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
- Ponto de mínimo local em
. - A função cresce para
e também para . - Não há assíntotas.
- A função está sempre acima de zero, já que soma de exponenciais positivas.
Resposta
A função
possui um ponto de mínimo local em
. Não há assíntotas e os limites da função tendem a
tanto para
quanto para
.
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