Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos críticos, os valores de máximo e mínimo local, as assíntotas e os limites da função:
Para isso, vamos usar ferramentas de cálculo diferencial, como derivadas para achar os pontos críticos, e análise de limites para entender o comportamento da função nos extremos. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função, ou seja, para quais valores de
a função está definida.
A função tem duas partes:
- Radiciação quadrada no numerador:
exige que . - Radiciação cúbica no denominador:
é sempre definida para qualquer número real.
Então, vamos resolver a desigualdade:
Portanto, o domínio da função é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas da função para identificar os pontos críticos. Os pontos críticos ocorrem onde a derivada primeira é zero ou não existe.
Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Usaremos a regra do quociente e a regra da cadeia para derivar.
Vamos chamar:
Então,
, e a derivada
é:
Calculando
e
:
Substituindo na fórmula da derivada:
Simplificando:
Para encontrar onde
, igualamos a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Mas lembrando do domínio:
. Para
ser válido, precisaríamos que:
Portanto, se
, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Vamos determinar agora os valores de máximo e mínimo local usando o teste da derivada primeira.
Se
muda de positiva para negativa em
, temos um máximo local.
Se muda de negativa para positiva, é um mínimo local.
Se muda de negativa para positiva, é um mínimo local.
Como o domínio e a derivada podem variar conforme o valor de
, essa análise pode depender do sinal de
. Para simplificar, vamos considerar
(já que
está no domínio):
- Para
, a derivada - Para
, a derivada
Então,
é um máximo local quando
.
Passo 5
Vamos agora encontrar as assíntotas da função.
-
Assíntota vertical: Geralmente ocorre onde a função não está definida devido ao denominador ser zero. Mas no nosso caso, o denominador �� uma radiciação cúbica, que está sempre definida. Logo, não há assíntotas verticais.
-
Assíntota horizontal: Observamos o comportamento da função quando
tende ao infinito positivo ou negativo.
Calculando o limite quando
:
Como o limite tende ao infinito, não há assíntota horizontal.
Passo 6
Por último, vamos analisar os limites da função nos extremos do domínio.
- Limite quando
:
- Limite quando
:
Já vimos que tende a
.
Resposta
Então, resumindo:
- Domínio:
- Ponto crítico:
(quando ) - Máximo local: Em
, se - Assíntotas: Não há assíntotas verticais ou horizontais
- Limites:
-
Com essas informações, é possível esboçar o gráfico da função considerando o domínio e o comportamento nos pontos críticos e nos limites.
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Sendo
dadas por
, e
dada por
, calcule