Encontre os pontos críticos, valores de máximo e mínimo local, assíntotas e limites das seguintes funções. Com base nestes resultados, esboçe o gráfico das funções. raiz(2x - a) / raiz(3x + 2a)^(1/3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos críticos, os valores de máximo e mínimo local, as assíntotas e os limites da função:
Para isso, vamos usar ferramentas de cálculo diferencial, como derivadas para achar os pontos críticos, e análise de limites para entender o comportamento da função nos extremos. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função, ou seja, para quais valores de a função está definida.
A função tem duas partes:
  1. Radiciação quadrada no numerador: exige que .
  2. Radiciação cúbica no denominador: é sempre definida para qualquer número real.
Então, vamos resolver a desigualdade:
Portanto, o domínio da função é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas da função para identificar os pontos críticos. Os pontos críticos ocorrem onde a derivada primeira é zero ou não existe.
Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Usaremos a regra do quociente e a regra da cadeia para derivar.
Vamos chamar:
Então, , e a derivada é:
Calculando e :
Substituindo na fórmula da derivada:
Simplificando:
Para encontrar onde , igualamos a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Simplificando:
Resolvendo para :
Mas lembrando do domínio: . Para ser válido, precisaríamos que:
Portanto, se , temos um ponto crítico em .

Passo 4

Vamos determinar agora os valores de máximo e mínimo local usando o teste da derivada primeira.
Se muda de positiva para negativa em , temos um máximo local.
Se muda de negativa para positiva, é um mínimo local.
Como o domínio e a derivada podem variar conforme o valor de , essa análise pode depender do sinal de . Para simplificar, vamos considerar (já que está no domínio):
  • Para , a derivada
  • Para , a derivada
Então, é um máximo local quando .

Passo 5

Vamos agora encontrar as assíntotas da função.
  1. Assíntota vertical: Geralmente ocorre onde a função não está definida devido ao denominador ser zero. Mas no nosso caso, o denominador �� uma radiciação cúbica, que está sempre definida. Logo, não há assíntotas verticais.
  2. Assíntota horizontal: Observamos o comportamento da função quando tende ao infinito positivo ou negativo.
Calculando o limite quando :
Como o limite tende ao infinito, não há assíntota horizontal.

Passo 6

Por último, vamos analisar os limites da função nos extremos do domínio.
  1. Limite quando :
  1. Limite quando :
Já vimos que tende a .

Resposta

Então, resumindo:
  • Domínio:
  • Ponto crítico: (quando )
  • Máximo local: Em , se
  • Assíntotas: Não há assíntotas verticais ou horizontais
  • Limites:
Com essas informações, é possível esboçar o gráfico da função considerando o domínio e o comportamento nos pontos críticos e nos limites.

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