Dê uma parametrização para as seguintes curvas: o segmento de reta que liga os pontos e

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois pontos no espaço tridimensional: e . A tarefa é encontrar uma parametrização para o segmento de reta que conecta esses dois pontos. Para isso, vamos usar o conceito de parametrização de reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma parametrização. Basicamente, é uma forma de descrever uma reta usando uma variável, geralmente , que varia dentro de um intervalo específico. No caso de um segmento de reta entre dois pontos, vai de 0 a 1.

Passo 3

Vamos considerar o ponto inicial e o ponto final . A diferença entre esses pontos nos dá a direção da reta. Vamos calcular essa direção:

Passo 4

Com a direção da reta definida, podemos escrever a parametrização usando . A ideia é começar no ponto e adicionar uma fração da direção controlada por :
Onde varia de 0 a 1.

Passo 5

Substituindo os valores que temos:
Isso significa que cada componente da posição será:

Resposta

A parametrização do segmento de reta que liga os pontos e é:

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Esboçe o traço das curvas abaixo: .
Esboçe o traço das curvas abaixo: .
Encontre os pontos da curva , tais que suas retas tangentes são perpendiculares à reta .
Dê uma parametrização para as seguintes curvas: a reta .