Em que ponto a curva
,
intercepta ela mesma? Encontre as equações de ambas as tangentes naquele ponto.
26. Em que ponto a curva
,
intercepta ela mesma? Encontre as equações de ambas as tangentes naquele ponto.
26. Em que ponto a curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ponto onde a curva definida por
e
se intercepta, ou seja, onde ela cruza a si mesma. Além disso, precisamos determinar as equações das duas tangentes nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de curvas paramétricas e derivadas para encontrar as tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quando a curva se intercepta. Isso acontece quando existem dois valores diferentes de
, digamos
e
, que produzem o mesmo ponto
. Ou seja:
Vamos simplificar a primeira equação:
Isso significa que
ou
.
Passo 3
Vamos analisar os casos:
-
Caso 1:Isso implica que
ou . Mas se , estamos no mesmo ponto, não em um ponto de interseção. Então, consideramos . -
Caso 2:Isso implica que
.
Vamos verificar qual desses casos nos leva a uma interseção.
Passo 4
Considerando o Caso 1 onde
:
Substituímos na segunda equação:
Sabemos que
e
, então:
Isso implica que:
Portanto, ou
ou
.
Passo 5
Resolvendo
:
Isso ocorre quando
, onde
é inteiro.
Resolvendo
:
Isso ocorre quando
, onde
é inteiro.
Passo 6
Agora, vamos analisar esses valores de
:
-
Para
: Vamos escolhere , mas isso não dá uma interseção diferente, então descartamos esse caso. -
Para
: Vamos escolhere . Vamos verificar se isso resulta em pontos diferentes.
Passo 7
Calculando
e
para
:
Para
:
Então, o ponto de interseção é
.
Passo 8
Agora, vamos encontrar as equações das duas tangentes no ponto
. Para isso, precisamos calcular as derivadas
para
e
.
Primeiro, vamos encontrar
e
:
Usando a regra do produto:
Passo 9
Simplificando
:
Sabemos que
, que no ponto de interseção é 0.
Então, para
:
E
para
:
Portanto, a derivada
é:
Para
:
E
para
:
Então,
Resposta
A curva se intercepta no ponto
. As equações das duas tangentes nesse ponto são:
e
Exercícios relacionados
Determine o valor principal da potência complexa dada.
(a)
(a)
Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical. Se você tem um dispositivo gráfico, plote a curva.
19.
19.
Assinale V para as alternativas verdadeiras e F para as falsas justificativas.
(i) ( ) A sequência definida por
e
é convergente.
(i) ( ) A sequência
Em cada caso abaixo, determine os cinco primeiros termos da sequência:
(d)
(d)