Em que ponto a curva , intercepta ela mesma? Encontre as equações de ambas as tangentes naquele ponto.
26. Em que ponto a curva , intercepta ela mesma? Encontre as equações de ambas as tangentes naquele ponto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ponto onde a curva definida por e se intercepta, ou seja, onde ela cruza a si mesma. Além disso, precisamos determinar as equações das duas tangentes nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de curvas paramétricas e derivadas para encontrar as tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quando a curva se intercepta. Isso acontece quando existem dois valores diferentes de , digamos e , que produzem o mesmo ponto . Ou seja:
Vamos simplificar a primeira equação:
Isso significa que ou .

Passo 3

Vamos analisar os casos:
  1. Caso 1:
    Isso implica que ou . Mas se , estamos no mesmo ponto, não em um ponto de interseção. Então, consideramos .
  2. Caso 2:
    Isso implica que .
Vamos verificar qual desses casos nos leva a uma interseção.

Passo 4

Considerando o Caso 1 onde :
Substituímos na segunda equação:
Sabemos que e , então:
Isso implica que:
Portanto, ou ou .

Passo 5

Resolvendo :
Isso ocorre quando , onde é inteiro.
Resolvendo :
Isso ocorre quando , onde é inteiro.

Passo 6

Agora, vamos analisar esses valores de :
  1. Para :
    Vamos escolher e , mas isso não dá uma interseção diferente, então descartamos esse caso.
  2. Para :
    Vamos escolher e .
    Vamos verificar se isso resulta em pontos diferentes.

Passo 7

Calculando e para :
Para :
Então, o ponto de interseção é .

Passo 8

Agora, vamos encontrar as equações das duas tangentes no ponto . Para isso, precisamos calcular as derivadas para e .
Primeiro, vamos encontrar e :
Usando a regra do produto:

Passo 9

Simplificando :
Sabemos que , que no ponto de interseção é 0.
Então, para :
E para :
Portanto, a derivada é:
Para :
E para :
Então,

Resposta

A curva se intercepta no ponto . As equações das duas tangentes nesse ponto são:
e

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