Encontre os pontos na curva , onde a reta tangente é horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos na curva definida por onde a reta tangente é horizontal. Isso envolve conceitos de Cálculo, especificamente de derivadas, que nos ajudam a entender como a curva se comporta em cada ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma reta tangente ser horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação zero, ou seja, sua derivada é zero. Então, precisamos encontrar a derivada da função em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A derivada de em relação a é 1, e a derivada de é . Então, a derivada da função fica:

Passo 4

Agora, queremos que a reta tangente seja horizontal, ou seja, que a derivada seja igual a zero. Então, vamos resolver a equação:
Vamos isolar :
Invertendo os dois lados:
E resolvendo para :

Passo 5

Com os valores de encontrados, vamos determinar os pontos correspondentes substituindo esses valores na função original .
Para :
Então, o ponto é .
Para :
Então, o ponto é .

Resposta

Os pontos na curva onde a reta tangente é horizontal são e .

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