Usando a regra de derivação implícita, encontrar em termos de e :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a derivação implícita para encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . A equação que temos é:
Então, vamos precisar entender como derivar cada termo dessa equação em relação a , lembrando que é uma função de .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar o lado esquerdo da equação, . Como temos um produto de duas funções de ( e ), vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então, derivando :
Agora, vamos derivar cada parte:
  • A derivada de em relação a é .
  • Para derivar , usamos a regra da cadeia: a derivada de é .
Substituindo:

Passo 3

Agora, vamos derivar o lado direito da equação, que é .
A derivada de em relação a é .
A derivada de em relação a é (novamente, usando a derivada de em relação a ).
Então:

Passo 4

Agora, juntando tudo, temos que a derivada do lado esquerdo é igual à derivada do lado direito:
Nosso objetivo é resolver essa equação para . Vamos isolar os termos que contêm .

Passo 5

Vamos mover os termos sem para o lado direito da equação:
Agora, fatoramos no lado esquerdo:

Passo 6

Finalmente, para encontrar , dividimos ambos os lados da equação por :

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Encontrar as derivadas superiores das seguintes funções:
Usando todas as regras de derivação, derive as seguintes funçõs:
Encontre os pontos na curva , onde a reta tangente é horizontal.
Usando todas as regras de derivação, derive as seguintes funçõs: