Usando a regra de derivação implícita, encontrar
em termos de
e
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a derivação implícita para encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. A equação que temos é:
Então, vamos precisar entender como derivar cada termo dessa equação em relação a
, lembrando que
é uma função de
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar o lado esquerdo da equação,
. Como temos um produto de duas funções de
(
e
), vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Então, derivando
:
Agora, vamos derivar cada parte:
- A derivada de
em relação a é . - Para derivar
, usamos a regra da cadeia: a derivada de é .
Substituindo:
Passo 3
Agora, vamos derivar o lado direito da equação, que é
.
A derivada de
em relação a
é
.
A derivada de
em relação a
é
(novamente, usando a derivada de
em relação a
).
Então:
Passo 4
Agora, juntando tudo, temos que a derivada do lado esquerdo é igual à derivada do lado direito:
Nosso objetivo é resolver essa equação para
. Vamos isolar os termos que contêm
.
Passo 5
Vamos mover os termos sem
para o lado direito da equação:
Agora, fatoramos
no lado esquerdo:
Passo 6
Finalmente, para encontrar
, dividimos ambos os lados da equação por
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
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