Encontre os pontos nos quais é descontínua. Em quais desses pontos é contínua à direita, à esquerda ou em nenhum deles? Esboce o gráfico de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos onde a função é descontínua e verificar se, nesses pontos, a função é contínua pela direita, pela esquerda ou nem por nenhum dos lados. Depois, vamos esboçar o gráfico da função. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade e limites na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função pode ter descontinuidade. Olhando para a definição da função :
Os pontos onde a função muda de fórmula são e . Esses são os candidatos a pontos de descontinuidade.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da função em .
Para : Para :
Calculamos o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda ():
Agora, o limite quando se aproxima de 0 pela direita ():
E o valor da função em é:
Como os limites laterais não são iguais (), a função é descontínua em .
Passo 4
Agora, vamos ver se a função é contínua pela esquerda ou pela direita em :
Após a esquerda (), o limite é , que é igual a . Então, a função é contínua pela esquerda.
Após a direita (), o limite é , que não é igual a . Então, a função não é contínua pela direita.
Passo 5
Vamos analisar o ponto .
Para : Para :
Calculamos o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda ():
Agora, o limite quando se aproxima de 2 pela direita ():
E o valor da função em é:
Aqui, os limites laterais são iguais e iguais ao valor da função. Portanto, é contínua em .
Passo 6
Vamos resumir as conclusões sobre a continuidade da função:
Em : A função é descontínua. É contínua pela esquerda, mas não pela direita.
Em : A função é contínua.
Passo 7
Agora, vamos esboçar o gráfico da função .
Para :
Isso é uma parábola com vértice em .
Para :
É uma reta decrescente que vai de (mas nesse ponto a função realmente vale 1, então há um buraco em ) até .
Para :
É outra parábola com vértice em , conectando-se suavemente com a parte anterior.
Resposta
A função é descontínua em , sendo contínua pela esquerda nesse ponto, mas não pela direita. Em , a função é contínua. O gráfico de apresenta uma parábola à esquerda de 0, uma reta decrescente entre 0 e 2, e outra parábola para conectando-se de forma contínua em 2.