Encontre os pontos nos quais é descontínua. Em quais desses pontos é contínua à direita, à esquerda ou em nenhum deles? Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos onde a função é descontínua e verificar se, nesses pontos, a função é contínua pela direita, pela esquerda ou nem por nenhum dos lados. Depois, vamos esboçar o gráfico da função. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade e limites na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função pode ter descontinuidade. Olhando para a definição da função :
Os pontos onde a função muda de fórmula são e . Esses são os candidatos a pontos de descontinuidade.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento da função em .
Para :
Para :
Calculamos o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Agora, o limite quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
E o valor da função em é:
Como os limites laterais não são iguais ( ), a função é descontínua em .

Passo 4

Agora, vamos ver se a função é contínua pela esquerda ou pela direita em :
  • Após a esquerda ( ), o limite é , que é igual a . Então, a função é contínua pela esquerda.
  • Após a direita ( ), o limite é , que não é igual a . Então, a função não é contínua pela direita.

Passo 5

Vamos analisar o ponto .
Para :
Para :
Calculamos o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
Agora, o limite quando se aproxima de 2 pela direita ( ):
E o valor da função em é:
Aqui, os limites laterais são iguais e iguais ao valor da função. Portanto, é contínua em .

Passo 6

Vamos resumir as conclusões sobre a continuidade da função:
  • Em : A função é descontínua. É contínua pela esquerda, mas não pela direita.
  • Em : A função é contínua.

Passo 7

Agora, vamos esboçar o gráfico da função .
  1. Para :
    Isso é uma parábola com vértice em .
  2. Para :
    É uma reta decrescente que vai de (mas nesse ponto a função realmente vale 1, então há um buraco em ) até .
  3. Para :
    É outra parábola com vértice em , conectando-se suavemente com a parte anterior.
Gráfico de f(x)

Resposta

A função é descontínua em , sendo contínua pela esquerda nesse ponto, mas não pela direita. Em , a função é contínua. O gráfico de apresenta uma parábola à esquerda de 0, uma reta decrescente entre 0 e 2, e outra parábola para conectando-se de forma contínua em 2.

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e
Sabendo que e , determine os limites abaixo, caso existam:
Seja
Esboce o gráfico da função e encontre: