Verifique se alguma das funções abaixo possui assíntotas. Em caso positivo, determine-as.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função possui assíntotas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são assíntotas e como identificá-las. Vamos analisar os diferentes tipos de assíntotas: horizontais, verticais e oblíquas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se há assíntotas verticais. Essas ocorrem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero.
Para encontrar os valores de que tornam o denominador zero, resolvemos:
Resolvendo essa equação:
Como a solução envolve números imaginários ( ), isso significa que não há valores reais de que tornem o denominador zero. Portanto, não existem assíntotas verticais para essa função.

Passo 3

Agora, vamos procurar por assíntotas horizontais. Essas ocorrem quando tende ao infinito ou menos infinito. Para identificar uma assíntota horizontal, analisamos os limites da função quando vai para ou .
A função dada é:
Vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Como o grau do numerador (3) é maior que o grau do denominador (2), esse limite tende a infinito. Isso indica que não há uma assíntota horizontal, mas pode haver uma assíntota oblíqua.

Passo 4

Finalmente, vamos verificar se existe uma assíntota oblíqua. Isso acontece quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o grau do denominador, o que é o caso aqui (grau 3 no numerador e grau 2 no denominador).
Para encontrar a assíntota oblíqua, dividimos o numerador pelo denominador usando a divisão polinomial.
Dividindo por :
Quando tende ao infinito, o termo tende a zero. Portanto, a equação da assíntota oblíqua é:

Resposta

A função possui uma assíntota oblíqua, que é a reta .

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Encontre o limite infinito nos seguintes casos:
e
Encontre o limite ou demostre que não existe
Encontre os pontos nos quais é descontínua. Em quais desses pontos é contínua à direita, à esquerda ou em nenhum deles? Esboce o gráfico de .
Sabendo que e , determine os limites abaixo, caso existam: