Verifique se alguma das funções abaixo possui assíntotas. Em caso positivo, determine-as.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função
possui assíntotas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são assíntotas e como identificá-las. Vamos analisar os diferentes tipos de assíntotas: horizontais, verticais e oblíquas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se há assíntotas verticais. Essas ocorrem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero.
Para encontrar os valores de
que tornam o denominador zero, resolvemos:
Resolvendo essa equação:
Como a solução envolve números imaginários (
), isso significa que não há valores reais de
que tornem o denominador zero. Portanto, não existem assíntotas verticais para essa função.
Passo 3
Agora, vamos procurar por assíntotas horizontais. Essas ocorrem quando
tende ao infinito ou menos infinito. Para identificar uma assíntota horizontal, analisamos os limites da função quando
vai para
ou
.
A função dada é:
Vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Como o grau do numerador (3) é maior que o grau do denominador (2), esse limite tende a infinito. Isso indica que não há uma assíntota horizontal, mas pode haver uma assíntota oblíqua.
Passo 4
Finalmente, vamos verificar se existe uma assíntota oblíqua. Isso acontece quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o grau do denominador, o que é o caso aqui (grau 3 no numerador e grau 2 no denominador).
Para encontrar a assíntota oblíqua, dividimos o numerador pelo denominador usando a divisão polinomial.
Dividindo
por
:
Quando
tende ao infinito, o termo
tende a zero. Portanto, a equação da assíntota oblíqua é:
Resposta
A função
possui uma assíntota oblíqua, que é a reta
.