Encontre os pontos pontos nos quais é descontínua. Em quais desses pontos é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos onde a função não é contínua e verificar se ela é contínua à direita, à esquerda ou nem por um lado nesses pontos. A função dada é uma função por partes, e vamos precisar usar conceitos de continuidade e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função muda de expressão. Olhando para :
A função muda de fórmula nos pontos e . Esses são os nossos candidatos a pontos de descontinuidade.

Passo 3

Vamos verificar se a função é contínua nesses pontos. Uma função é contínua em um ponto se:
Se alguma dessas igualdades não for verdadeira, a função é descontínua em .

Passo 4

No ponto :
  • Limite pela esquerda ( ):
    Usamos a expressão :
  • Limite pela direita ( ):
    Usamos a expressão :
  • Valor da função em :
Análise:
  • O limite pela esquerda é igual ao valor da função ( ).
  • O limite pela direita é diferente ( ).
Isso significa que a função tem uma descontinuidade em . Além disso, como o limite pela esquerda coincide com o valor da função, é contínua pela esquerda nesse ponto, mas não é contínua pela direita.

Passo 5

No ponto :
  • Limite pela esquerda ( ):
    Usamos a expressão :
  • Limite pela direita ( ):
    Usamos a expressão :
  • Valor da função em :
Análise:
  • O limite pela esquerda é diferente do valor da função ( ).
  • O limite pela direita coincide com o valor da função ( ).
Isso indica que a função tem uma descontinuidade em . Como o limite pela direita coincide com o valor da função, é contínua pela direita nesse ponto, mas não é contínua pela esquerda.

Resposta

A função é descontínua nos pontos e . Em , é contínua pela esquerda apenas. Em , é contínua pela direita apenas.

Exercícios relacionados

Explique por que a função é descontínua no número dado. Esboce o gráfico da função.
Use a definição de continuidade e as propriedades de limites para demonstrar que a função é contínua no intervalo dado.
Calcule o limite justificando cada passagem com as propriedades dos limites que forem usadas.
Seja
Esboce o gráfico de .