Encontre os pontos pontos nos quais é descontínua. Em quais desses pontos é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos onde a função não é contínua e verificar se ela é contínua à direita, à esquerda ou nem por um lado nesses pontos. A função dada é uma função por partes, e vamos precisar usar conceitos de continuidade e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função muda de expressão. Olhando para :
A função muda de fórmula nos pontos e . Esses são os nossos candidatos a pontos de descontinuidade.
Passo 3
Vamos verificar se a função é contínua nesses pontos. Uma função é contínua em um ponto se:
Se alguma dessas igualdades não for verdadeira, a função é descontínua em .
Passo 4
No ponto :
Limite pela esquerda ():
Usamos a expressão :
Limite pela direita ():
Usamos a expressão :
Valor da função em :
Análise:
O limite pela esquerda é igual ao valor da função ().
O limite pela direita é diferente ().
Isso significa que a função tem uma descontinuidade em . Além disso, como o limite pela esquerda coincide com o valor da função, é contínua pela esquerda nesse ponto, mas não é contínua pela direita.
Passo 5
No ponto :
Limite pela esquerda ():
Usamos a expressão :
Limite pela direita ():
Usamos a expressão :
Valor da função em :
Análise:
O limite pela esquerda é diferente do valor da função ().
O limite pela direita coincide com o valor da função ().
Isso indica que a função tem uma descontinuidade em . Como o limite pela direita coincide com o valor da função, é contínua pela direita nesse ponto, mas não é contínua pela esquerda.
Resposta
A função é descontínua nos pontos e . Em , é contínua pela esquerda apenas. Em , é contínua pela direita apenas.