Use a definição de continuidade e as propriedades de limites para demonstrar que a função é contínua no intervalo dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a função é contínua no intervalo . Para isso, vamos usar a definição de continuidade e as propriedades dos limites. Ou seja, vamos verificar que, para qualquer ponto dentro desse intervalo, o limite da função quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que é contínua em se:
Ou seja, o limite da função quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função em .

Passo 3

Vamos agora aplicar essa definição à nossa função . Precisamos mostrar que para todo no intervalo :

Passo 4

Vamos calcular o limite de quando tende a :
Aqui usamos a propriedade de limites que diz que o limite da soma é a soma dos limites, desde que ambos existam.

Passo 5

Agora, calculamos cada limite separadamente:
Esses resultados vêm do fato de que a função identidade e a função raiz quadrada são contínuas nos seus respectivos domínios.

Passo 6

Juntando os resultados, temos:
E sabemos que:
Portanto:

Resposta

Assim, mostrarmos que para todo no intervalo , concluímos que a função é contínua nesse intervalo.

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Existe ?
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