Use a definição de continuidade e as propriedades de limites para demonstrar que a função é contínua no intervalo dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a função
é contínua no intervalo
. Para isso, vamos usar a definição de continuidade e as propriedades dos limites. Ou seja, vamos verificar que, para qualquer ponto dentro desse intervalo, o limite da função quando
se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que
é contínua em
se:
Ou seja, o limite da função quando
se aproxima de
deve ser igual ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos agora aplicar essa definição à nossa função
. Precisamos mostrar que para todo
no intervalo
:
Passo 4
Vamos calcular o limite de
quando
tende a
:
Aqui usamos a propriedade de limites que diz que o limite da soma é a soma dos limites, desde que ambos existam.
Passo 5
Agora, calculamos cada limite separadamente:
Esses resultados vêm do fato de que a função identidade
e a função raiz quadrada são contínuas nos seus respectivos domínios.
Passo 6
Juntando os resultados, temos:
E sabemos que:
Portanto:
Resposta
Assim, mostrarmos que
para todo
no intervalo
, concluímos que a função
é contínua nesse intervalo.
Exercícios relacionados
Seja
Existe
?
Seja
Encontre
e
.
Explique por que a função é descontínua no número
dado. Esboce o gráfico da função.
Encontre os pontos pontos nos quais
é descontínua. Em quais desses pontos
é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles?