Explique por que a função é descontínua no número
dado. Esboce o gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente explicar por que a função
é descontínua no ponto
. A função é definida assim:
Vamos precisar entender o que é continuidade, como calcular limites e comparar com o valor da função no ponto. Isso vai nos ajudar a ver por que há uma descontinuidade aí.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função quando
. Olha só:
Aqui, podemos cancelar o
no numerador e denominador, mas cuidado: isso só vale para
, já que se
, teríamos divisão por zero. Assim, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Como simplificamos para
, é fácil:
Isso significa que, à medida que nos aproximamos de
pela esquerda ou pela direita, a função tende a
.
Passo 4
Vamos comparar esse limite com o valor da função no ponto
. Segundo a definição:
Então, o limite quando
se aproxima de
é
, mas o valor da função exatamente em
é
.
Passo 5
Para que a função seja contínua no ponto
, o limite quando
se aproxima de
deveria ser igual ao valor da função nesse ponto. Aqui, temos:
Como os valores não são iguais, a função
apresenta uma descontinuidade no ponto
.
Resposta
A função
é descontínua em
porque o limite quando
se aproxima de
é
, que é diferente do valor da função nesse ponto, que é
. Portanto, há uma quebra no gráfico da função em
.
Além disso, ao esboçar o gráfico, observaríamos uma reta
para todos os
exceto em
, onde há um ponto isolado em
, mostrando a descontinuidade.