Explique por que a função é descontínua no número dado. Esboce o gráfico da função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente explicar por que a função é descontínua no ponto . A função é definida assim:
Vamos precisar entender o que é continuidade, como calcular limites e comparar com o valor da função no ponto. Isso vai nos ajudar a ver por que há uma descontinuidade aí.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função quando . Olha só:
Aqui, podemos cancelar o no numerador e denominador, mas cuidado: isso só vale para , já que se , teríamos divisão por zero. Assim, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Como simplificamos para , é fácil:
Isso significa que, à medida que nos aproximamos de pela esquerda ou pela direita, a função tende a .

Passo 4

Vamos comparar esse limite com o valor da função no ponto . Segundo a definição:
Então, o limite quando se aproxima de é , mas o valor da função exatamente em é .

Passo 5

Para que a função seja contínua no ponto , o limite quando se aproxima de deveria ser igual ao valor da função nesse ponto. Aqui, temos:
Como os valores não são iguais, a função apresenta uma descontinuidade no ponto .

Resposta

A função é descontínua em porque o limite quando se aproxima de é , que é diferente do valor da função nesse ponto, que é . Portanto, há uma quebra no gráfico da função em .
Além disso, ao esboçar o gráfico, observaríamos uma reta para todos os exceto em , onde há um ponto isolado em , mostrando a descontinuidade.

Exercícios relacionados

Use a definição de continuidade e as propriedades de limites para demonstrar que a função é contínua no intervalo dado.
Seja
Existe ?
Encontre os pontos pontos nos quais é descontínua. Em quais desses pontos é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles?
Calcule o limite justificando cada passagem com as propriedades dos limites que forem usadas.