Sejam R1, R2 as relações definidas por: x R1 y <=> x = y e x R2 y <=> x < y. Descreva:
(i) R1 ∩ R2
(ii) R1 ∪ R2
(iii) As classe de equivlência da relação R1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas relações, e , definidas por:
  • significa que .
  • significa que .
A questão pede para descrevermos:
  1. A interseção .
  2. A união .
  3. As classes de equivalência da relação .
Para resolver isso, vamos lembrar o que são interseção e união de relações, além de entender o que são classes de equivalência.

Passo 2

Vamos começar com o item (i): .
A interseção de duas relações, , consiste nos pares que estão em ambas as relações e .
Ou seja, para que pertença a , precisa valer que:
  • e .
Mas, será que existe algum número que seja igual a outro e menor que ele ao mesmo tempo? 🤔
Não, porque se , então não pode ser menor que . Portanto, não existem pares que satisfaçam as duas condições ao mesmo tempo.

Passo 3

Agora, vamos para o item (ii): .
A união de duas relações, , inclui todos os pares que estão em pelo menos uma das relações ou .
Ou seja, para que pertença a , basta que:
  • ou .
Isso significa que representa todas as situações onde é igual a ou é menor que . Podemos expressar isso como:
Então, a união é a relação “menor ou igual a”.

Passo 4

Finalmente, vamos para o item (iii): As classes de equivalência da relação .
Primeiro, vamos entender o que é uma classe de equivalência. Uma classe de equivalência para um elemento é o conjunto de todos os elementos que estão relacionados a pela relação de equivalência.
A relação é definida por , que é uma relação de igualdade. Essa relação é:
  • Reflexiva: Todo elemento está relacionado a si mesmo.
  • Simétrica: Se está relacionado a , então está relacionado a .
  • Transitiva: Se está relacionado a e está relacionado a , então está relacionado a .
Portanto, é uma relação de equivalência.
A classe de equivalência de um elemento sob é o conjunto de todos os tais que , ou seja, . Então, cada classe de equivalência contém apenas o próprio elemento.
Isso significa que cada número forma sua própria classe de equivalência.

Resposta

(i) (a relação interseção é vazia).
(ii) é a relação .
(iii) As classes de equivalência da relação são conjuntos que contêm cada elemento individualmente, ou seja, para todo , .

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