Sejam
as relações definidas por:
e
. Descreva:
(i)
(ii)
(iii) As classe de equivlência da relação
.
(i)
(ii)
(iii) As classe de equivlência da relação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas relações,
e
, definidas por:
-
significa que . -
significa que .
A questão pede para descrevermos:
- A interseção
. - A união
. - As classes de equivalência da relação
.
Para resolver isso, vamos lembrar o que são interseção e união de relações, além de entender o que são classes de equivalência.
Passo 2
Vamos começar com o item (i):
.
A interseção de duas relações,
, consiste nos pares
que estão em ambas as relações
e
.
Ou seja, para que
pertença a
, precisa valer que:
-
e .
Mas, será que existe algum número que seja igual a outro e menor que ele ao mesmo tempo? 🤔
Não, porque se
, então
não pode ser menor que
. Portanto, não existem pares que satisfaçam as duas condições ao mesmo tempo.
Passo 3
Agora, vamos para o item (ii):
.
A união de duas relações,
, inclui todos os pares
que estão em pelo menos uma das relações
ou
.
Ou seja, para que
pertença a
, basta que:
-
ou .
Isso significa que
representa todas as situações onde
é igual a
ou
é menor que
. Podemos expressar isso como:
Então, a união
é a relação “menor ou igual a”.
Passo 4
Finalmente, vamos para o item (iii): As classes de equivalência da relação
.
Primeiro, vamos entender o que é uma classe de equivalência. Uma classe de equivalência para um elemento
é o conjunto de todos os elementos que estão relacionados a
pela relação de equivalência.
A relação
é definida por
, que é uma relação de igualdade. Essa relação é:
- Reflexiva: Todo elemento está relacionado a si mesmo.
- Simétrica: Se
está relacionado a , então está relacionado a . - Transitiva: Se
está relacionado a e está relacionado a , então está relacionado a .
Portanto,
é uma relação de equivalência.
A classe de equivalência de um elemento
sob
é o conjunto de todos os
tais que
, ou seja,
. Então, cada classe de equivalência contém apenas o próprio elemento.
Isso significa que cada número forma sua própria classe de equivalência.
Resposta
(i)
(a relação interseção é vazia).
(ii)
é a relação
.
(iii) As classes de equivalência da relação
são conjuntos que contêm cada elemento individualmente, ou seja, para todo
,
.