Encontre os pontos no gráfico de onde o plano tangente é paralelo a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os pontos no gráfico de onde o plano tangente é paralelo ao plano . Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com planos tangentes e vetores normais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , que nos ajudam a encontrar o plano tangente em qualquer ponto do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dão as inclinações do gráfico nas direções de e .

Passo 3

Agora, o vetor normal ao plano tangente no ponto é dado por . Portanto, o vetor normal ao nosso plano tangente é:

Passo 4

Queremos que o plano tangente seja paralelo ao plano . O vetor normal desse plano é . Para que dois planos sejam paralelos, seus vetores normais devem ser proporcionais. Ou seja:
onde é uma constante de proporcionalidade.

Passo 5

Vamos igualar as componentes correspondentes dos vetores:
Da terceira equação, podemos encontrar :

Passo 6

Agora, substituímos nas primeiras duas equações:

Passo 7

Resolvendo para :

Passo 8

Agora, temos e . Vamos encontrar substituindo esses valores na equação original:

Resposta

O ponto no gráfico de onde o plano tangente é paralelo a é .

Exercícios relacionados

Nos exercícios abaixo, encontre a equação do plano tangente no ponto dado.
,
Use a aproximação linear para estimar o valor. Compare com o valor dado por uma calculadora.
Se possível, resolver as seguintes EDO(b)
Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
h)