Encontre os pontos no gráfico de
onde o plano tangente é paralelo a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os pontos no gráfico de
onde o plano tangente é paralelo ao plano
. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com planos tangentes e vetores normais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
, que nos ajudam a encontrar o plano tangente em qualquer ponto do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dão as inclinações do gráfico nas direções de
e
.
Passo 3
Agora, o vetor normal ao plano tangente no ponto
é dado por
. Portanto, o vetor normal ao nosso plano tangente é:
Passo 4
Queremos que o plano tangente seja paralelo ao plano
. O vetor normal desse plano é
. Para que dois planos sejam paralelos, seus vetores normais devem ser proporcionais. Ou seja:
onde
é uma constante de proporcionalidade.
Passo 5
Vamos igualar as componentes correspondentes dos vetores:
Da terceira equação, podemos encontrar
:
Passo 6
Agora, substituímos
nas primeiras duas equações:
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora, temos
e
. Vamos encontrar
substituindo esses valores na equação original:
Resposta
O ponto no gráfico de
onde o plano tangente é paralelo a
é
.