Use a aproximação linear para estimar o valor. Compare com o valor dado por uma calculadora.

Passo 1

Olá! Vamos resolver esse exercício onde precisamos usar a aproximação linear para estimar o valor da expressão . A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente a parte de aproximação linear. Para resolver, vamos precisar entender como a aproximação linear funciona e como aplicá-la a funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos a função que vamos aproximar. Seja:
Queremos estimar .

Passo 3

Vamos escolher um ponto próximo onde os cálculos são mais fáceis. Vamos usar , pois está perto de e está perto de .

Passo 4

Calculamos o valor da função no ponto :

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
No ponto :

Passo 6

A aproximação linear é dada por:
Substituindo , , , :

Passo 7

Calculando as diferenças:
Substituindo:

Passo 8

Efetuando as operações:
Então:

Passo 9

Vamos simplificar:

Resposta

A aproximação linear estima o valor de como aproximadamente 0,1052. Usando uma calculadora, o valor exato é aproximadamente 0,1053, o que mostra que nossa estimativa está muito próxima do valor real.

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,
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