Use a aproximação linear para estimar o valor. Compare com o valor dado por uma calculadora.
Passo 1
Olá! Vamos resolver esse exercício onde precisamos usar a aproximação linear para estimar o valor da expressão
. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente a parte de aproximação linear. Para resolver, vamos precisar entender como a aproximação linear funciona e como aplicá-la a funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos a função que vamos aproximar. Seja:
Queremos estimar
.
Passo 3
Vamos escolher um ponto próximo onde os cálculos são mais fáceis. Vamos usar
, pois
está perto de
e
está perto de
.
Passo 4
Calculamos o valor da função no ponto
:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
No ponto
:
Passo 6
A aproximação linear é dada por:
Substituindo
,
,
,
:
Passo 7
Calculando as diferenças:
Substituindo:
Passo 8
Efetuando as operações:
Então:
Passo 9
Vamos simplificar:
Resposta
A aproximação linear estima o valor de
como aproximadamente 0,1052. Usando uma calculadora, o valor exato é aproximadamente 0,1053, o que mostra que nossa estimativa está muito próxima do valor real.
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d)
d)
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,
Encontre os pontos no gráfico de
onde o plano tangente é paralelo a
.