Nos exercícios abaixo, encontre a equação do plano tangente no ponto dado.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a equação do plano tangente a uma superfície no ponto dado. A função que a gente vai trabalhar aqui é . Para resolver isso, precisamos usar o conceito de derivadas parciais e a fórmula do plano tangente. Vamos passo a passo para entender tudo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um plano tangente. Imagine que você tem uma superfície 3D, como uma montanha. O plano tangente é como uma folha de papel que toca a montanha exatamente em um ponto, sem cruzar a superfície naquele local. Para encontrar esse plano, precisamos das derivadas parciais da função em relação a e no ponto de interesse.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da função . A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, precisamos saber em qual ponto vamos encontrar o plano tangente. Suponha que o ponto seja no plano . O valor de nesse ponto é dado por .

Passo 5

Com as derivadas parciais e o ponto , podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente é:
Isso significa que a equação do plano depende dos valores de , e .

Passo 6

Substituindo os valores que calculamos:

Passo 7

Agora, podemos simplificar essa equação para deixar mais bonita:

Passo 8

Organizando os termos:
Após simplificar, teremos a forma final do plano tangente.

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:
Você pode simplificar essa expressão finalizando os termos para obter a equação mais elegante do plano tangente!

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Use a aproximação linear para estimar o valor. Compare com o valor dado por uma calculadora.
Use o critério do termo geral para concluir se a série é divergente ou que o teste é inconclusivo
d)
Encontre os pontos no gráfico de onde o plano tangente é paralelo a .
Se possível, resolver as seguintes EDO(b)