Nos exercícios abaixo, encontre a equação do plano tangente no ponto dado.
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a equação do plano tangente a uma superfície no ponto dado. A função que a gente vai trabalhar aqui é
. Para resolver isso, precisamos usar o conceito de derivadas parciais e a fórmula do plano tangente. Vamos passo a passo para entender tudo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um plano tangente. Imagine que você tem uma superfície 3D, como uma montanha. O plano tangente é como uma folha de papel que toca a montanha exatamente em um ponto, sem cruzar a superfície naquele local. Para encontrar esse plano, precisamos das derivadas parciais da função em relação a
e
no ponto de interesse.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da função
. A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Agora, precisamos saber em qual ponto vamos encontrar o plano tangente. Suponha que o ponto seja
no plano
. O valor de
nesse ponto é dado por
.
Passo 5
Com as derivadas parciais e o ponto
, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente é:
Isso significa que a equação do plano depende dos valores de
,
e
.
Passo 6
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 7
Agora, podemos simplificar essa equação para deixar mais bonita:
Passo 8
Organizando os termos:
Após simplificar, teremos a forma final do plano tangente.
Resposta
A equação do plano tangente à superfície
no ponto
é:
Você pode simplificar essa expressão finalizando os termos para obter a equação mais elegante do plano tangente!
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d)
d)
Encontre os pontos no gráfico de
onde o plano tangente é paralelo a
.
Se possível, resolver as seguintes EDO(b)