Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da comparação ou a comparação no limite para descobrir se a série
converge ou diverge. Basicamente, queremos ver se a soma infinita dessa sequência dá um número finito ou não. Para isso, vamos precisar comparar com uma série que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor os termos da nossa série. Olhando para o numerador
e o denominador
, percebemos que, para valores grandes de
, o
domina o numerador e o
domina o denominador. Então, podemos simplificar a expressão aproximando:
Isso nos ajuda a escolher uma série com a qual vamos comparar a nossa.
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com
. Sabemos que uma série do tipo
converge se
, o que é o caso aqui (
).
Para confirmar, vamos usar o teste da comparação no limite. Calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Simplificando:
Passo 4
Como o limite calculado foi um número finito diferente de zero (
), o teste da comparação no limite nos diz que as duas séries têm o mesmo comportamento em termos de convergência. Sabemos que
converge, então nossa série original
também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Se possível, resolver as seguintes EDO(b)
Encontre os pontos no gráfico de
onde o plano tangente é paralelo a
.
Resolva a equação exata
Encontre a linearização de
em
.