Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da comparação ou a comparação no limite para descobrir se a série converge ou diverge. Basicamente, queremos ver se a soma infinita dessa sequência dá um número finito ou não. Para isso, vamos precisar comparar com uma série que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os termos da nossa série. Olhando para o numerador e o denominador , percebemos que, para valores grandes de , o domina o numerador e o domina o denominador. Então, podemos simplificar a expressão aproximando:
Isso nos ajuda a escolher uma série com a qual vamos comparar a nossa.

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com . Sabemos que uma série do tipo converge se , o que é o caso aqui ( ).
Para confirmar, vamos usar o teste da comparação no limite. Calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Simplificando:

Passo 4

Como o limite calculado foi um número finito diferente de zero ( ), o teste da comparação no limite nos diz que as duas séries têm o mesmo comportamento em termos de convergência. Sabemos que converge, então nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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