Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
h) sumk=1^infty 4 k+13^k-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da comparação ou a comparação no limite para descobrir se a série converge ou diverge. Basicamente, queremos ver se a soma infinita dessa sequência dá um número finito ou não. Para isso, vamos precisar comparar com uma série que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os termos da nossa série. Olhando para o numerador 4k + 13^k - 2 approx 4k3^k e o denominador , percebemos que, para valores grandes de , o domina o numerador e o domina o denominador. Então, podemos simplificar a expressão aproximando:
Isso nos ajuda a escolher uma série com a qual vamos comparar a nossa.

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com limk to infty 4k + 13^k - 2k3^k = limk to infty (4k + 1) cdot 3^kk cdot (3^k - 2) = limk to infty 4k + 1k cdot 3^k3^k - 2 . Sabemos que uma série do tipo = limk to infty (4 + 1k) cdot (3^k3^k - 2) = 4 cdot 1 = 4 converge se , o que é o caso aqui ( ).
Para confirmar, vamos usar o teste da comparação no limite. Calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Simplificando:

Passo 4

Como o limite calculado foi um número finito diferente de zero ( ), o teste da comparação no limite nos diz que as duas séries têm o mesmo comportamento em termos de convergência. Sabemos que converge, então nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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