Se possível, resolver as seguintes EDO(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é:
Aqui, estamos lidando com uma EDO de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender sobre equações exatas, que nos ajudam a encontrar soluções diretas para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
que estão multiplicando
e
respectivamente:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma EDO na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular:
Como
, a equação é de fato exata!
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, vamos usar a condição
para encontrar
. Derivando
em relação a
:
Igualando as duas expressões:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
de volta na expressão de
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Encontre os pontos no gráfico de
onde o plano tangente é paralelo a
.
Nos exercícios abaixo, encontre a equação do plano tangente no ponto dado.
,
Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
h)
h)
Resolva a equação exata