Encontre os pontos do hiperboloide
onde o plano tangente é paralelo ao plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos do hiperboloide
onde o plano tangente é paralelo ao plano
. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes a superfícies e condições de paralelismo entre planos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o plano tangente ser paralelo a outro plano. Dois planos são paralelos se seus vetores normais são proporcionais. O vetor normal do plano
é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a expressão do vetor normal ao hiperboloide
em qualquer ponto
dele. Para isso, calculamos o gradiente da função
:
Então, o vetor normal ao hiperboloide no ponto
é
.
Passo 4
Para que o plano tangente ao hiperboloide seja paralelo ao plano dado, os vetores normais devem ser proporcionais. Ou seja:
Onde
é uma constante de proporcionalidade.
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Agora, vamos substituir
,
e
em termos de
na equação do hiperboloide para encontrar o valor de
:
Passo 6
Com os valores de
, podemos encontrar os pontos correspondentes:
Para
:
Ponto:
Para
:
Ponto:
Resposta
Os pontos do hiperboloide onde o plano tangente é paralelo ao plano
são
e
.
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Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto
.
Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de
Mostre que
existe e calcule o seu limite.
Seja
Utilize a aproximação linear para aproximar o valor de .
Utilize a aproximação linear para aproximar o valor de